დისკრეტული ფუნქცია უწყვეტი ფუნქციის წინააღმდეგ
ფუნქციები არის მათემატიკური ობიექტების ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი კლასი, რომელიც ფართოდ გამოიყენება მათემატიკის თითქმის ყველა ქვედარგში. როგორც მათი სახელები გვთავაზობს, ორივე დისკრეტული ფუნქცია და უწყვეტი ფუნქცია არის ორი სპეციალური ტიპის ფუნქცია.
ფუნქცია არის მიმართება ორ სიმრავლეს შორის, რომელიც განისაზღვრება ისე, რომ პირველი ნაკრების თითოეული ელემენტისთვის, მნიშვნელობა, რომელიც მას შეესაბამება მეორე კომპლექტში, უნიკალურია. ვთქვათ f არის A სიმრავლიდან B სიმრავლეში განსაზღვრული ფუნქცია. შემდეგ ყოველ x ϵ A-სთვის სიმბოლო f (x) აღნიშნავს უნიკალურ მნიშვნელობას B სიმრავლეში, რომელიც შეესაბამება x-ს.მას უწოდებენ x-ის გამოსახულებას f ქვეშ. მაშასადამე, f მიმართება A-დან B-ში არის ფუნქცია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თითოეული xϵ A და y ϵ A; თუ x=y მაშინ f (x)=f (y). A სიმრავლეს ეწოდება f ფუნქციის დომენი და ეს არის სიმრავლე, რომელშიც ფუნქცია განისაზღვრება.
მაგალითად, განვიხილოთ f კავშირი R-დან R-ში, რომელიც განისაზღვრება f (x)=x + 2 თითოეული xϵ A-სთვის. ეს არის ფუნქცია, რომლის დომენი არის R, რადგან თითოეული რეალური რიცხვისთვის x და y, x=y გულისხმობს f (x)=x + 2=y + 2=f (y). მაგრამ g მიმართება N-დან N-ში განსაზღვრულია g (x)=a-ით, სადაც 'a' არის x-ის პირველი ფაქტორები არ არის ფუნქცია, როგორც g (6)=3, ისევე როგორც g (6)=2..
რა არის დისკრეტული ფუნქცია?
დისკრეტული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის დომენი მაქსიმუმ თვლადია. უბრალოდ, ეს ნიშნავს, რომ შესაძლებელია სიის შექმნა, რომელიც მოიცავს დომენის ყველა ელემენტს.
ნებისმიერი სასრული სიმრავლე მაქსიმუმ თვლადია. ნატურალური რიცხვების სიმრავლე და რაციონალური რიცხვების სიმრავლე არის მაგალითები ყველაზე დასათვლელი უსასრულო სიმრავლეებისთვის.ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე და ირაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე მაქსიმუმ თვლადი არ არის. ორივე ნაკრები უთვალავია. ეს ნიშნავს, რომ შეუძლებელია სიის შედგენა, რომელიც მოიცავს ამ ნაკრების ყველა ელემენტს.
ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული დისკრეტული ფუნქციაა ფაქტორული ფუნქცია. f:N U{0}→N რეკურსიულად განსაზღვრული f (n)=n f (n-1) თითოეული n ≥ 1-ისთვის და f (0)=1 ეწოდება ფაქტორულ ფუნქციას. დააკვირდით, რომ მისი დომენი N U{0} მაქსიმუმ თვლადია.
რა არის უწყვეტი ფუნქცია?
დავთქვათ, f იყოს ფუნქცია ისეთი, რომ ყოველი k-ისთვის f დომენში, f (x)→ f (k) როგორც x → k. მაშინ f არის უწყვეტი ფუნქცია. ეს ნიშნავს, რომ შესაძლებელია f (x) თვითნებურად მივახლოვდეთ f (k)-ს, თუ x საკმარისად მიახლოვებთ k-ს თითოეული k-ისთვის f დომენში.
განვიხილოთ ფუნქცია f (x)=x + 2 R-ზე. ჩანს, რომ x → k, x + 2 → k + 2 არის f (x)→ f (k). ამიტომ, f არის უწყვეტი ფუნქცია. ახლა განვიხილოთ g დადებით რეალურ რიცხვებზე g (x)=1 თუ x > 0 და g (x)=0 თუ x=0.მაშინ, ეს ფუნქცია არ არის უწყვეტი ფუნქცია, რადგან g (x)-ის ზღვარი არ არსებობს (და, შესაბამისად, ის არ არის ტოლი g (0)), როგორც x → 0.
რა განსხვავებაა დისკრეტულ და უწყვეტ ფუნქციას შორის?
• დისკრეტული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის დომენი მაქსიმუმ თვლადია, მაგრამ ეს ასე არ უნდა იყოს უწყვეტ ფუნქციებში.
• ყველა უწყვეტ ფუნქციას ƒ აქვს თვისება, რომ ƒ(x)→ƒ(k) როგორც x → k თითოეული x-სთვის და თითოეული k-სთვის ƒ დომენში, მაგრამ ეს ასე არ არის ზოგიერთ დისკრეტულ ფუნქციაში..
