ალბათობის განაწილების ფუნქცია vs ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია
ალბათობა არის მოვლენის მოხდენის ალბათობა. ეს იდეა ძალიან გავრცელებულია და ხშირად გამოიყენება ყოველდღიურ ცხოვრებაში, როდესაც ვაფასებთ ჩვენს შესაძლებლობებს, ტრანზაქციას და ბევრ სხვა რამეს. ამ მარტივი კონცეფციის გაფართოება მოვლენების უფრო დიდ ჯგუფზე ცოტა უფრო რთულია. მაგალითად, ლატარიის მოგების შანსებს ადვილად ვერ გავარკვევთ, მაგრამ მოსახერხებელია, საკმაოდ ინტუიციური, იმის თქმა, რომ ექვსიდან ერთის ალბათობაა, რომ მივიღოთ მეექვსე ნომერი აგდებულ კამათელში.
როდესაც მოვლენების რიცხვი, რომელიც შეიძლება მოხდეს, იზრდება, ან ინდივიდუალური შესაძლებლობების რაოდენობა დიდია, ალბათობის ეს საკმაოდ მარტივი იდეა მარცხდება. ამიტომ, მას უნდა მივცეთ მყარი მათემატიკური განსაზღვრება, სანამ უფრო მაღალი სირთულის მქონე ამოცანებს მივუდგებით.
როდესაც მოვლენების რაოდენობა, რომელიც შეიძლება მოხდეს ერთ სიტუაციაში, დიდია, შეუძლებელია თითოეული მოვლენის ინდივიდუალურად განხილვა, როგორც აგდებული კამათლის მაგალითში. ამრიგად, მოვლენების მთელი ნაკრები შეჯამებულია შემთხვევითი ცვლადის კონცეფციის შემოღებით. ეს არის ცვლადი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს სხვადასხვა მოვლენის მნიშვნელობები ამ კონკრეტულ სიტუაციაში (ან ნიმუში სივრცეში). სიტუაციის მარტივ მოვლენებს მათემატიკურ აზრს აძლევს და მოვლენის მიმართვის მათემატიკურ გზას. უფრო ზუსტად, შემთხვევითი ცვლადი არის რეალური მნიშვნელობის ფუნქცია ნიმუშის სივრცის ელემენტებზე. შემთხვევითი ცვლადები შეიძლება იყოს დისკრეტული ან უწყვეტი. ისინი ჩვეულებრივ აღინიშნება ინგლისური ანბანის დიდი ასოებით.
ალბათობის განაწილების ფუნქცია (ან უბრალოდ, ალბათობის განაწილება) არის ფუნქცია, რომელიც ანიჭებს ალბათობის მნიშვნელობებს თითოეული მოვლენისთვის; ანუ ის უზრუნველყოფს კავშირს იმ მნიშვნელობებთან ალბათობასთან, რომელიც შეიძლება მიიღოს შემთხვევითი ცვლადი.ალბათობის განაწილების ფუნქცია განისაზღვრება დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადებისთვის.
ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია არის ალბათობის განაწილების ფუნქციის ექვივალენტი უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის, იძლევა ალბათობას, რომ გარკვეული შემთხვევითი ცვლადი მიიღოს გარკვეული მნიშვნელობა.
თუ X არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი, ფუნქციას, რომელიც მოცემულია როგორც f (x)=P (X=x) X-ის დიაპაზონში თითოეული x-ისთვის, ეწოდება ალბათობის განაწილების ფუნქციას. ფუნქცია შეიძლება იყოს ალბათობის განაწილების ფუნქცია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ფუნქცია აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
F (x) ფუნქციას, რომელიც განისაზღვრება რეალური რიცხვების სიმრავლით, ეწოდება უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია X, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx ნებისმიერი რეალური მუდმივებისთვის a და b.
ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ პირობებსაც.
1. f (x) ≥ 0 ყველა x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
როგორც ალბათობის განაწილების ფუნქცია, ასევე ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია გამოიყენება ნიმუშის სივრცეში ალბათობების განაწილების გამოსასახად. ჩვეულებრივ, მათ უწოდებენ ალბათობის განაწილებებს.
სტატისტიკური მოდელირებისთვის, მიღებულია ალბათობის სიმკვრივის სტანდარტული ფუნქციები და ალბათობის განაწილების ფუნქციები. ნორმალური განაწილება და სტანდარტული ნორმალური განაწილება არის უწყვეტი ალბათობის განაწილების მაგალითები. ბინომალური განაწილება და პუასონის განაწილება არის დისკრეტული ალბათობის განაწილების მაგალითები.
რა განსხვავებაა ალბათობის განაწილებასა და ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციას შორის?
• ალბათობის განაწილების ფუნქცია და ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია არის ფუნქციები, რომლებიც განისაზღვრება ნიმუშის სივრცეში, რათა მიენიჭოს შესაბამისი ალბათობის მნიშვნელობა თითოეულ ელემენტს.
• ალბათობის განაწილების ფუნქციები განისაზღვრება დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადებისთვის, ხოლო ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციები განისაზღვრება უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის.
• ალბათობის სიდიდეების განაწილება (ანუ ალბათობის განაწილება) საუკეთესოდ არის გამოსახული ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციით და ალბათობის განაწილების ფუნქციით.
• ალბათობის განაწილების ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მნიშვნელობები ცხრილში, მაგრამ ეს შეუძლებელია ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციისთვის, რადგან ცვლადი უწყვეტია.
• როდესაც გამოსახულია, ალბათობის განაწილების ფუნქცია იძლევა ზოლის დიაგრამას, ხოლო ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია იძლევა მრუდს.
• ალბათობის განაწილების ფუნქციის ზოლების სიმაღლე/სიგრძე უნდა დაემატოს 1-ს, ხოლო ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციის მრუდის ფართობი უნდა დაემატოს 1-ს.
• ორივე შემთხვევაში, ფუნქციის ყველა მნიშვნელობა უნდა იყოს არაუარყოფითი.
