ბინომიული vs ნორმალური განაწილება
შემთხვევითი ცვლადების ალბათობის განაწილება მნიშვნელოვან როლს თამაშობს სტატისტიკის სფეროში. ამ ალბათობის განაწილებიდან, ბინომიალური განაწილება და ნორმალური განაწილება არის ორი ყველაზე გავრცელებული განაწილება რეალურ ცხოვრებაში.
რა არის ორობითი განაწილება?
ბინომალური განაწილება არის X შემთხვევითი ცვლადის შესაბამისი ალბათობის განაწილება, რომელიც არის დამოუკიდებელი დიახ/არა ექსპერიმენტების სასრული მიმდევრობის წარმატებების რაოდენობა, რომელთაგან თითოეულს აქვს წარმატების ალბათობა p. X-ის განმარტებიდან აშკარაა, რომ ის არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი; შესაბამისად, ბინომალური განაწილებაც დისკრეტულია.
განაწილება აღინიშნება როგორც X ~ B (n, p), სადაც n არის ექსპერიმენტების რაოდენობა და p არის წარმატების ალბათობა. ალბათობის თეორიის მიხედვით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ B (n, p) მიჰყვება ალბათობის მასის ფუნქციას [ლატექსი] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/ლატექსი]. ამ განტოლებიდან შეიძლება დავასკვნათ, რომ X-ის მოსალოდნელი მნიშვნელობა, E(X)=np და X-ის, V(X)=np (1- p) ვარიაცია.
მაგალითად, განიხილეთ მონეტის 3-ჯერ სროლის შემთხვევითი ექსპერიმენტი. განსაზღვრეთ წარმატება, როგორც H-ის მიღება, წარუმატებლობა, როგორც T-ის მიღება და შემთხვევითი ცვლადი X, როგორც ექსპერიმენტში წარმატებების რაოდენობა. შემდეგ X ~ B (3, 0.5) და X-ის ალბათობის მასის ფუნქცია მოცემულია [ლატექსით] \binom{3}{k} 0-ით.5^{k} (0.5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/ლატექსი]. ამიტომ, მინიმუმ 2 H-ის მიღების ალბათობა არის P(X ≥ 2)=P (X=2 ან X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3 C2(0.52)(0.51) + 3 C3(0.53)(0.50)=0.375 + 0.125=0.5.
რა არის ნორმალური განაწილება?
ნორმალური განაწილება არის უწყვეტი ალბათობის განაწილება, რომელიც განისაზღვრება ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციით, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/ლატექსი]. პარამეტრები [latex] \mu და \\sigma [/latex] აღნიშნავს ინტერესთა პოპულაციის საშუალო და სტანდარტულ გადახრას. როდესაც [ლატექსი] / mu=0 და \\ სიგმა=1 [/ლატექსი] განაწილებას ეწოდება სტანდარტული ნორმალური განაწილება.
ამ განაწილებას ნორმას უწოდებენ, რადგან ბუნებრივი ფენომენების უმეტესობა ნორმალურ განაწილებას მიჰყვება. მაგალითად, ადამიანის პოპულაციის IQ ჩვეულებრივ ნაწილდება.როგორც გრაფიკიდან ჩანს, ეს არის უნიმოდალური, სიმეტრიული საშუალო და ზარის ფორმის მიმართ. საშუალო, რეჟიმი და მედიანა ემთხვევა ერთმანეთს. მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი შეესაბამება მოსახლეობის ნაწილს, რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ პირობას.
მოსახლეობის ნაწილები ინტერვალში [ლატექსი] (\mu – \\სიგმა, \\mu + \\სიგმა) [/ლატექსი], [ლატექსი] (\mu – 2 \\სიგმა, \\ mu + 2 \\ სიგმა) [/ლატექსი], [ლატექსი] (\mu – 3 \\ სიგმა, \\ mu + 3 \\ სიგმა) [/ლატექსი] არის დაახლოებით 68.2%, 95.6% და 99.8% შესაბამისად.
რა განსხვავებაა ბინომიალურ და ნორმალურ განაწილებებს შორის?
- ბინომური განაწილება არის დისკრეტული ალბათობის განაწილება, ხოლო ნორმალური განაწილება არის უწყვეტი.
- ბინომალური განაწილების ალბათობის მასის ფუნქციაა [ლატექსი]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/ლატექსი], ხოლო ნორმალური განაწილების ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციაა [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
- ბინომიალური განაწილება მიახლოებულია ნორმალურ განაწილებასთან გარკვეულ პირობებში, მაგრამ არა პირიქით.
