შემთხვევითი ცვლადები vs ალბათობის განაწილება
სტატისტიკური ექსპერიმენტები არის შემთხვევითი ექსპერიმენტები, რომლებიც შეიძლება განმეორდეს განუსაზღვრელი ვადით, ცნობილი შედეგებით. როგორც შემთხვევითი ცვლადები, ასევე ალბათობის განაწილება დაკავშირებულია ასეთ ექსპერიმენტებთან. ყოველი შემთხვევითი ცვლადი, არის ასოცირებული ალბათობის განაწილება, რომელიც განისაზღვრება ფუნქციით, რომელსაც ეწოდება კუმულაციური განაწილების ფუნქცია.
რა არის შემთხვევითი ცვლადი?
შემთხვევითი ცვლადი არის ფუნქცია, რომელიც ანიჭებს ციფრულ მნიშვნელობებს სტატისტიკური ექსპერიმენტის შედეგებს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის ფუნქცია, რომელიც განისაზღვრება სტატისტიკური ექსპერიმენტის ნიმუშის სივრციდან რეალურ რიცხვთა სიმრავლეში.
მაგალითად, განიხილეთ მონეტის ორჯერ გადაბრუნების შემთხვევითი ექსპერიმენტი. შესაძლო შედეგებია HH, HT, TH და TT (H – თავები, T – ზღაპრები). ცვლადი X იყოს ექსპერიმენტში დაფიქსირებული თავების რაოდენობა. შემდეგ X-ს შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 0, 1 ან 2 და ეს არის შემთხვევითი ცვლადი. აქ, შემთხვევითი ცვლადი X ასახავს სიმრავლეს S={HH, HT, TH, TT} (ნიმუშის სივრცე) სიმრავლეს {0, 1, 2} ისე, რომ HH იყოს 2, HT და TH. ასახულია 1-ზე და TT არის 0-ზე. ფუნქციის აღნიშვნაში ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც X: S → R სადაც X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 და X(TT)=0.
არის ორი ტიპის შემთხვევითი ცვლადი: დისკრეტული და უწყვეტი, შესაბამისად, შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა მაქსიმუმ თვლადია თუ არა. წინა მაგალითში, შემთხვევითი ცვლადი X არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი, რადგან {0, 1, 2} არის სასრული ნაკრები. ახლა განვიხილოთ კლასში სტუდენტების წონის პოვნის სტატისტიკური ექსპერიმენტი. მოდით, Y იყოს შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განისაზღვრება როგორც სტუდენტის წონა. Y-ს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობა კონკრეტულ ინტერვალში. აქედან გამომდინარე, Y არის უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი.
რა არის ალბათობის განაწილება?
ალბათობის განაწილება არის ფუნქცია, რომელიც აღწერს შემთხვევითი ცვლადის გარკვეულ მნიშვნელობებს მიღების ალბათობას.
ფუნქცია, რომელსაც ეწოდება კუმულაციური განაწილების ფუნქცია (F) შეიძლება განისაზღვროს რეალური რიცხვების სიმრავლიდან რეალური რიცხვების სიმრავლემდე, როგორც F(x)=P(X ≤ x) (X-ის ალბათობა ნაკლებია ან x-ის ტოლი) ყოველი შესაძლო შედეგისთვის x. ახლა X-ის კუმულაციური განაწილების ფუნქცია პირველ მაგალითში შეიძლება დაიწეროს როგორც F(a)=0, თუ a<0; F(a)=0.25, თუ 0≤a<1; F(a)=0.75, თუ 1≤a<2 და F(a)=1, თუ a≥2.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების შემთხვევაში, ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს შესაძლო შედეგების სიმრავლიდან რეალური რიცხვების სიმრავლემდე ისე, რომ ƒ(x)=P(X=x) (X-ის ალბათობა ტოლია x) ყოველი შესაძლო შედეგისთვის x. ამ კონკრეტულ ფუნქციას ƒ ეწოდება X შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის მასის ფუნქცია.ახლა X-ის ალბათობის მასის ფუნქცია პირველ კონკრეტულ მაგალითში შეიძლება დაიწეროს როგორც ƒ(0)=0.25, ƒ(1)=0.5, ƒ(2)=0.25 და ƒ(x)=0 წინააღმდეგ შემთხვევაში. ამრიგად, ალბათობის მასის ფუნქცია კუმულაციური განაწილების ფუნქციასთან ერთად აღწერს X-ის ალბათობის განაწილებას პირველ მაგალითში.
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების შემთხვევაში, ფუნქცია, რომელსაც ეწოდება ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია (ƒ) შეიძლება განისაზღვროს როგორც ƒ(x)=dF(x)/dx თითოეული x-ისთვის, სადაც F არის კუმულაციური განაწილების ფუნქცია. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი. ადვილი მისახვედრია, რომ ეს ფუნქცია აკმაყოფილებს ∫ƒ(x)dx=1. ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია კუმულაციური განაწილების ფუნქციასთან ერთად აღწერს უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილებას. მაგალითად, ნორმალური განაწილება (რომელიც არის უწყვეტი ალბათობის განაწილება) აღწერილია ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციის გამოყენებით ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- μ)]2/(2σ2)).
რა განსხვავებაა შემთხვევით ცვლადებსა და ალბათობის განაწილებას შორის?
• შემთხვევითი ცვლადი არის ფუნქცია, რომელიც აკავშირებს ნიმუშის სივრცის მნიშვნელობებს რეალურ რიცხვთან.
• ალბათობის განაწილება არის ფუნქცია, რომელიც აკავშირებს მნიშვნელობებს, რომლებიც შემთხვევითმა ცვლადმა შეიძლება მიიღოს დადგომის შესაბამის ალბათობასთან.
