ჰიპერბოლა vs ელიფსი
როდესაც კონუსი იჭრება სხვადასხვა კუთხით, კონუსის კიდეზე სხვადასხვა მრუდი აღინიშნება. ამ მოსახვევებს ხშირად კონუსურ მონაკვეთებს უწოდებენ. უფრო ზუსტად, კონუსური მონაკვეთი არის მრუდი, რომელიც მიიღება მარჯვენა წრიული კონუსური ზედაპირის სიბრტყესთან გადაკვეთით. გადაკვეთის სხვადასხვა კუთხით მოცემულია სხვადასხვა კონუსური მონაკვეთები.
ორივე ჰიპერბოლა და ელიფსი არის კონუსური მონაკვეთები და მათი განსხვავებები ადვილად შედარებულია ამ კონტექსტში.
მეტი ელიფსის შესახებ
როდესაც კონუსური ზედაპირისა და სიბრტყე ზედაპირის გადაკვეთა წარმოქმნის დახურულ მრუდს, ეს ცნობილია როგორც ელიფსი. მას აქვს ექსცენტრიულობა ნულსა და ერთს შორის (0<e<1). ის ასევე შეიძლება განისაზღვროს, როგორც წერტილების სიმრავლის ადგილი სიბრტყეზე ისეთი, რომ ორი ფიქსირებული წერტილიდან წერტილამდე მანძილების ჯამი მუდმივი დარჩეს. ეს ორი ფიქსირებული წერტილი ცნობილია როგორც "ფოკუსი". (გახსოვდეთ; დაწყებითი მათემატიკის გაკვეთილებზე ელიფსები იხატება ორ ფიქსირებულ ქინძისთავზე მიბმული სტრიქონით, ან სტრიქონით და ორი ქინძისთავებით.)
კერებში გამავალი ხაზის სეგმენტი ცნობილია როგორც მთავარი ღერძი, ხოლო ღერძი, რომელიც პერპენდიკულარულია მთავარი ღერძისა და ელიფსის ცენტრში, ცნობილია როგორც მცირე ღერძი.თითოეული ღერძის გასწვრივ დიამეტრი ცნობილია, როგორც განივი დიამეტრი და კონიუგატური დიამეტრი. ძირითადი ღერძის ნახევარი ცნობილია როგორც ნახევრად მთავარი ღერძი, ხოლო მცირე ღერძის ნახევარი ცნობილია როგორც ნახევრად მცირე ღერძი.
თითოეული წერტილი F1 და F2 ცნობილია როგორც ელიფსის კერები და სიგრძე F1 + PF2 =2a, სადაც P არის თვითნებური წერტილი ელიფსზე. ექსცენტრიულობა e განისაზღვრება, როგორც თანაფარდობა მანძილს ფოკუსიდან თვითნებურ წერტილამდე (PF 2) და პერპენდიკულარულ დაშორებას თვითნებურ წერტილამდე მიმართულებიდან (PD). ის ასევე უდრის მანძილს ორ კერასა და ნახევრად მთავარ ღერძს შორის: e=PF/PD=f/a
ელიფსის ზოგადი განტოლება, როდესაც ნახევრად მთავარი ღერძი და ნახევრად მცირე ღერძი ემთხვევა დეკარტის ღერძებს, მოცემულია შემდეგნაირად.
x2/a2 + y2/b2=1
ელიფსის გეომეტრიას მრავალი გამოყენება აქვს, განსაკუთრებით ფიზიკაში.მზის სისტემაში პლანეტების ორბიტები ელიფსურია და მზე ერთ ფოკუსშია. ანტენებისა და აკუსტიკური მოწყობილობების ამრეკლერები დამზადებულია ელიფსურ ფორმაში, რათა ისარგებლოს იმით, რომ ნებისმიერი ემისია ფოკუსიდან გადაიყრება სხვა ფოკუსს.
მეტი ჰიპერბოლის შესახებ
ჰიპერბოლა ასევე კონუსური მონაკვეთია, მაგრამ ის ღია ბოლოა. ტერმინი ჰიპერბოლა მოიხსენიება ნახატზე ნაჩვენები ორი გათიშული მრუდის მიმართ. ელიფსის მსგავსად დახურვის ნაცვლად, ჰიპერბოლის მკლავები ან ტოტები გრძელდება უსასრულობამდე.
წერტილები, სადაც ორ ტოტს შორის ყველაზე მოკლე მანძილი აქვს, ცნობილია როგორც წვეროები. წვეროებზე გამავალი ხაზი განიხილება, როგორც ძირითადი ღერძი ან განივი ღერძი, და ეს არის ჰიპერბოლის ერთ-ერთი მთავარი ღერძი.პარაბოლის ორი ფოკუსი ასევე დევს მთავარ ღერძზე. ორ წვეროს შორის წრფის შუა წერტილი არის ცენტრი, ხოლო ხაზის სეგმენტის სიგრძე არის ნახევრად მთავარი ღერძი. ნახევრად მთავარი ღერძის პერპენდიკულური ბისექტორი არის მეორე ძირითადი ღერძი, ხოლო ჰიპერბოლის ორი მრუდი სიმეტრიულია ამ ღერძის გარშემო. პარაბოლას ექსცენტრიულობა ერთზე მეტია; e > 1.
თუ ძირითადი ღერძები ემთხვევა დეკარტის ღერძებს, ჰიპერბოლის ზოგადი განტოლება არის:
x2/a2 – y2/b2=1,
სადაც a არის ნახევრად მთავარი ღერძი და b არის მანძილი ცენტრიდან რომელიმე ფოკუსამდე.
ჰიპერბოლები ღია ბოლოებით x ღერძისკენ არის ცნობილი როგორც აღმოსავლეთ-დასავლეთის ჰიპერბოლები. მსგავსი ჰიპერბოლების მიღება შესაძლებელია y ღერძზეც. ეს ცნობილია როგორც y-ღერძის ჰიპერბოლები. ასეთი ჰიპერბოლების განტოლება იღებს ფორმას
y2/a2 – x2/b2=1
რა განსხვავებაა ჰიპერბოლასა და ელიფსს შორის?
• ორივე ელიფსი და ჰიპერბოლა კონუსური მონაკვეთებია, მაგრამ ელიფსი არის დახურული მრუდი, ხოლო ჰიპერბოლა შედგება ორი ღია მრუდისგან.
• მაშასადამე, ელიფსს აქვს სასრული პერიმეტრი, მაგრამ ჰიპერბოლას აქვს უსასრულო სიგრძე.
• ორივე სიმეტრიულია მათი ძირითადი და მცირე ღერძის ირგვლივ, მაგრამ მიმართულების პოზიცია თითოეულ შემთხვევაში განსხვავებულია. ელიფსში ის დევს ნახევრად ძირითადი ღერძის გარეთ, ჰიპერბოლაში კი ნახევრად მთავარ ღერძში.
• ორი კონუსური მონაკვეთის ექსცენტრიულობა განსხვავებულია.
0 <eელიფსი < 1
eჰიპერბოლა > 0
• ორი მრუდის ზოგადი განტოლება ერთნაირად გამოიყურება, მაგრამ ისინი განსხვავებულია.
• ძირითადი ღერძის პერპენდიკულური ბისექტორი კვეთს მრუდს ელიფსში, მაგრამ არა ჰიპერბოლაში.
(სურათების წყარო: ვიკიპედია)
