კარდინალი vs რიგითი
ჩვენს ყოველდღიურ ცხოვრებაში, რიცხვების გამოყენებამ შეიძლება სხვადასხვა სიტუაციებში სხვადასხვა ფორმა მიიღოს. მაგალითად, როდესაც ვითვლით ობიექტების კრებულის ზომის გასარკვევად, მათ ვითვლით როგორც ერთ, ორ, სამ და ა.შ. როდესაც გვინდა რაღაცის დათვლა, რათა მივიღოთ ობიექტების პოზიციის გაგება, ჩვენ მათ ვითვლით პირველად, მეორედ, მესამედ და ა.შ. დათვლის პირველ ფორმაში რიცხვები ამბობენ, რომ კარდინალური რიცხვებია. დათვლის მეორე ფორმაში რიცხვები განიხილება რიგობით რიცხვებად. ამ კონტექსტში კარდინალური და რიგითი ცნებები მთლიანად ლინგვისტიკის საკითხია; კარდინალი და რიგითი ზედსართავი სახელებია.
თუმცა, კონცეფციის გაფართოება მათემატიკაში სიმრავლეებზე ავლენს ბევრად უფრო ღრმა და ფართო პერსპექტივას და არ შეიძლება განიხილებოდეს მარტივი სიტყვებით. ამ სტატიაში შევეცდებით გავიგოთ კარდინალური და რიგითი რიცხვების ფუნდამენტური ცნებები მათემატიკაში.
კარდინალური და რიგითი რიცხვების ფორმალური განმარტებები მოცემულია სიმრავლეების თეორიაში. განმარტებები რთულია და მათი სრულყოფილი გაგებისთვის საჭიროა სიმრავლეების თეორიის ძირითადი ცოდნა. ამიტომ, ჩვენ მივმართავთ რამდენიმე მაგალითს, რათა გავიგოთ ცნებები ევრისტიკულად.
განიხილეთ ორი ნაკრები {1, 3, 6, 4, 5, 2} და {ავტობუსი, მანქანა, ბორანი, მატარებელი, თვითმფრინავი, ვერტმფრენი}. თითოეული ნაკრები ჩამოთვლის ელემენტების ერთობლიობას და თუ დავთვლით ელემენტების რაოდენობას, აშკარაა, რომ თითოეულს აქვს ელემენტების იგივე რაოდენობა, რაც არის 6. ამ დასკვნამდე ავიღეთ ერთი ნაკრების ზომა და შევადარეთ მეორეს გამოყენებით ნომერი. ასეთ რიცხვს კარდინალური რიცხვი ეწოდება. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ კარდინალური რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც შეგვიძლია გამოვიყენოთ სასრულ სიმრავლეების ზომის შესადარებლად.
ისევ რიცხვების პირველი ნაკრები შეიძლება განლაგდეს აღმავალი თანმიმდევრობით თითოეული ელემენტის ზომის გათვალისწინებით და მათი შედარება. შეკვეთის პროცესში ნომრები განიხილება კარდინალად. ანალოგიურად, ყველა არაუარყოფითი მთელი რიცხვის სიმრავლე შეიძლება დალაგდეს სიმრავლეში; ანუ {0, 1, 2, 3, 4, ….}. მაგრამ ამ შემთხვევაში სიმრავლის ზომა ხდება უსასრულო და მისი მიცემა რიგითობის მიხედვით შეუძლებელია. რაც არ უნდა დიდი რიცხვი აირჩიოთ სიმრავლის ზომის მისაცემად, მაინც დარჩება თქვენს მიერ არჩეული სიმრავლიდან რიცხვები და რომლებიც არაუარყოფითი მთელი რიცხვებია.
ამიტომ, მათემატიკოსები განსაზღვრავენ ამ უსასრულო კარდინალს (რომელიც პირველია) როგორც Aleph-0, დაწერილი როგორც א (ებრაული ანბანის პირველი ასო). ფორმალურად რიგითი ნომერი არის კარგად მოწესრიგებული ნაკრების შეკვეთის ტიპი. მაშასადამე, სასრულ სიმრავლეთა რიგითი რიცხვი შეიძლება მიღებულ იქნეს კარდინალური რიცხვებით, მაგრამ უსასრულო სიმრავლეებისთვის რიგობითი მოცემულია ტრანსფინიტური რიცხვებით, როგორიცაა ალეფ-0.
რა განსხვავებაა კარდინალურ და რიგით რიცხვებს შორის?
• კარდინალური რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას დასათვლელად ან სასრულ მოწესრიგებული სიმრავლის ზომის მისაცემად. ყველა კარდინალური რიცხვი რიგითია.
• რიგითი რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც გამოიყენება როგორც სასრულ, ისე უსასრულო მოწესრიგებული სიმრავლეების ზომის მისაცემად. სასრული მოწესრიგებული სიმრავლეების ზომა მოცემულია ჩვეულებრივი ინდუ-არაბული ალგებრული რიცხვებით, ხოლო უსასრულო სიმრავლის ზომა მოცემულია ტრანსფინიტური რიცხვებით.
