წარმოებული vs ინტეგრალი
დიფერენციაცია და ინტეგრაცია არის ორი ფუნდამენტური ოპერაცია კალკულუსში. მათ აქვთ მრავალი პროგრამა რამდენიმე სფეროში, როგორიცაა მათემატიკა, ინჟინერია და ფიზიკა. წარმოებულიც და ინტეგრალიც განიხილავს ფუნქციის ან ფიზიკური ერთეულის ქცევას, რომელიც ჩვენ გვაინტერესებს.
რა არის წარმოებული?
ვთქვათ, y=ƒ(x) და x0 არის ƒ დომენში. შემდეგ limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx ეწოდება ƒ-ის ცვლილების მყისიერ სიჩქარეს x0-ზე, იმ პირობით, რომ ეს ლიმიტი არსებობს უსასრულოდ.ამ ზღვარს ასევე უწოდებენ at-ის წარმოებულს და აღინიშნება ƒ(x).-ით.
F ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა ფუნქციის დომენის თვითნებურ x წერტილში მოცემულია limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. ეს აღინიშნება რომელიმე შემდეგი გამოთქმით: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
ფუნქციებისთვის რამდენიმე ცვლადი, ჩვენ განვსაზღვრავთ ნაწილობრივ წარმოებულს. რამდენიმე ცვლადის მქონე ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებული არის მისი წარმოებული ამ ცვლადებიდან ერთ-ერთთან მიმართებაში, იმ ვარაუდით, რომ სხვა ცვლადები მუდმივებია. ნაწილობრივი წარმოებულის სიმბოლოა ∂.
გეომეტრიულად ფუნქციის წარმოებული შეიძლება განიმარტოს, როგორც ƒ(x) ფუნქციის მრუდის დახრილობა.
რა არის ინტეგრალი?
ინტეგრაცია ან ანტიდიფერენციაცია დიფერენცირების საპირისპირო პროცესია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის ორიგინალური ფუნქციის პოვნის პროცესი, როდესაც მოცემულია ფუნქციის წარმოებული.მაშასადამე, ƒ(x) ფუნქციის ინტეგრალი ან ანტიწარმოებული, თუ, ƒ(x)=F (x) შეიძლება განისაზღვროს, როგორც F (x) ფუნქცია, ყველა x-ისთვის ƒ(x) დომენში.
გამოთქმა ∫ƒ(x) dx აღნიშნავს ƒ(x) ფუნქციის წარმოებულს. თუ ƒ(x)=F (x), მაშინ ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, სადაც C არის მუდმივი, ∫ƒ(x) dx ეწოდება ƒ(x) განუსაზღვრელი ინტეგრალი..
ნებისმიერი ფუნქციისთვის ƒ, რომელიც სულაც არ არის არაუარყოფითი და განისაზღვრება [a, b], a∫b ƒ(x) dx-ს ეწოდება განსაზღვრული ინტეგრალი ƒ [a, b]-ზე.
ƒ(x) ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი a∫bƒ(x) dx შეიძლება გეომეტრიულად განიმარტოს, როგორც ფუნქციის ფართობი რეგიონი, რომელიც შემოიფარგლება მრუდით ƒ(x), x ღერძი და x=a და x=b წრფეები.
რა განსხვავებაა წარმოებულსა და ინტეგრალს შორის?
• წარმოებული არის პროცესის დიფერენციაციის შედეგი, ხოლო ინტეგრალი არის პროცესის ინტეგრაციის შედეგი.
• ფუნქციის წარმოებული წარმოადგენს მრუდის დახრილობას ნებისმიერ მოცემულ წერტილში, ხოლო ინტეგრალი წარმოადგენს მრუდის ქვეშ არსებულ ფართობს.
