წარმოებული vs დიფერენციალი
დიფერენციალურ გამოთვლებში ფუნქციის წარმოებული და დიფერენციალი მჭიდრო კავშირშია, მაგრამ აქვთ ძალიან განსხვავებული მნიშვნელობა და გამოიყენება დიფერენცირებად ფუნქციებთან დაკავშირებული ორი მნიშვნელოვანი მათემატიკური ობიექტის წარმოსაჩენად.
რა არის წარმოებული?
ფუნქციის წარმოებული ზომავს სიჩქარეს, რომლითაც იცვლება ფუნქციის მნიშვნელობა მისი შეყვანის ცვლილებისას. მრავალცვლადი ფუნქციებში ფუნქციის მნიშვნელობის ცვლილება დამოკიდებულია დამოუკიდებელი ცვლადების მნიშვნელობების ცვლილების მიმართულებაზე. ამიტომ ასეთ შემთხვევებში ირჩევა კონკრეტული მიმართულება და ფუნქციის დიფერენცირება ხდება ამ კონკრეტული მიმართულებით.ამ წარმოებულს ეწოდება მიმართულების წარმოებული. ნაწილობრივი წარმოებულები არის მიმართულების წარმოებულების განსაკუთრებული სახეობა.
ვექტორული მნიშვნელობის f ფუნქციის წარმოებული შეიძლება განისაზღვროს როგორც ლიმიტი [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h / to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] სადაც ის არის უსასრულოდ. როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ეს გვაძლევს f ფუნქციის გაზრდის სიჩქარეს ვექტორის u მიმართულებით. ერთმნიშვნელოვანი ფუნქციის შემთხვევაში, ეს მცირდება წარმოებულის ცნობილ განმარტებამდე, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\ 0}\\frac{f-მდე. (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
მაგალითად, [ლატექსი]f(x)=x^{3}+4x+5[/ლატექსი] ყველგან დიფერენცირებადია და წარმოებული ტოლია ლიმიტის, [ლატექსი]\\lim_{სთ. \\ 0}\\ frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], რაც არის უდრის [ლატექსი]3x^{2}+4[/ლატექსი]. ფუნქციების წარმოებულები, როგორიცაა [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] ყველგან არსებობს. ისინი შესაბამისად ტოლია ფუნქციების [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
ეს ცნობილია როგორც პირველი წარმოებული. როგორც წესი, f ფუნქციის პირველი წარმოებული აღინიშნება f (1) ახლა ამ აღნიშვნის გამოყენებით, შესაძლებელია უფრო მაღალი რიგის წარმოებულების განსაზღვრა. [ლატექსი]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] არის მეორე რიგის მიმართულების წარმოებული და აღნიშნავს n -ე წარმოებულს f (n)-ით თითოეული n-ისთვის, [ლატექსი]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], განსაზღვრავს n th წარმოებულს.
რა არის დიფერენციალი?
ფუნქციის დიფერენციალი წარმოადგენს ფუნქციის ცვლილებას დამოუკიდებელი ცვლადის ან ცვლადების ცვლილებებთან მიმართებაში. ჩვეულებრივ აღნიშვნით, x ერთი ცვლადის f ფუნქციისთვის, 1 df რიგის ჯამური დიფერენციალი მოცემულია, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. ეს ნიშნავს, რომ x-ში უსასრულოდ მცირე ცვლილებისთვის (ანუ d x), იქნება f (1)(x)d x ცვლილება f-ში.
ლიმიტების გამოყენებით შეიძლება დასრულდეს ეს განმარტება შემდეგნაირად. დავუშვათ ∆ x არის x-ის ცვლილება თვითნებურ x წერტილში და ∆ f არის f ფუნქციის შესაბამისი ცვლილება. შეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, სადაც ϵ არის შეცდომა. ახლა ზღვარი ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (წარმოებულის ადრე მითითებული განმარტების გამოყენებით) და ამგვარად, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. შესაბამისად, შესაძლებელია დაასკვნათ, რომ ∆ x→ 0 ϵ=0. ახლა, აღვნიშნავთ ∆ x→ 0 ∆ f როგორც d f და ∆ x→ 0 ∆ x როგორც d x, დიფერენციალური განმარტება მკაცრად არის მიღებული.
მაგალითად, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] ფუნქციის დიფერენციალი არის [latex](3x^{2}+4)dx[/ლატექსი].
ორი ან მეტი ცვლადის ფუნქციების შემთხვევაში, ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი განისაზღვრება, როგორც დიფერენციალთა ჯამი თითოეული დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართულებით. მათემატიკურად, ის შეიძლება განისაზღვროს როგორც [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
რა განსხვავებაა წარმოებულსა და დიფერენციალს შორის?
• წარმოებული აღნიშნავს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს, ხოლო დიფერენციალი ეხება ფუნქციის რეალურ ცვლილებას, როდესაც დამოუკიდებელი ცვლადი ექვემდებარება ცვლილებას.
• წარმოებული მოცემულია [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], მაგრამ დიფერენციალი მოცემულია [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
