პარალელოგრამი ოთხკუთხედის წინააღმდეგ
ოთხკუთხედები და პარალელოგრამები არის მრავალკუთხედები, რომლებიც გვხვდება ევკლიდეს გეომეტრიაში. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედის განსაკუთრებული შემთხვევა. ოთხკუთხედები შეიძლება იყოს პლანშეტური (2D) ან 3 განზომილებიანი, ხოლო პარალელოგრამები ყოველთვის ბრტყელია.
ოთხკუთხედი
ოთხკუთხედი არის მრავალკუთხედი ოთხი გვერდით. მას აქვს ოთხი წვერო, ხოლო შიდა კუთხეების ჯამი არის 3600 (2π rad). ოთხკუთხედები კლასიფიცირდება თვითგადაკვეთად და მარტივ ოთხკუთხედ კატეგორიებად. თვითგადაკვეთის ოთხკუთხედებს აქვთ ორი ან მეტი გვერდი, რომლებიც ერთმანეთს კვეთენ და უფრო მცირე გეომეტრიული ფიგურები (როგორიცაა სამკუთხედები იქმნება ოთხკუთხედის შიგნით).
მარტივი ოთხკუთხედები ასევე იყოფა ამოზნექილ და ჩაზნექილ ოთხკუთხედებად. ჩაზნექილ ოთხკუთხედებს აქვთ მიმდებარე გვერდები, რომლებიც ქმნიან რეფლექსურ კუთხეებს ფიგურის შიგნით. მარტივი ოთხკუთხედები, რომლებსაც შიგნით არ აქვთ რეფლექსური კუთხეები, არის ამოზნექილი ოთხკუთხედები. ამოზნექილ ოთხკუთხედებს ყოველთვის შეიძლება ჰქონდეთ ასოები.
ოთხკუთხედების გეომეტრიის ძირითადი ნაწილი საწყის დონეზე ეხება ამოზნექილ ოთხკუთხედებს. ზოგიერთი ოთხკუთხედი ჩვენთვის ძალიან ნაცნობია დაწყებითი სკოლების დროიდან. ქვემოთ მოცემულია დიაგრამა, რომელიც აჩვენებს სხვადასხვა ამოზნექილ ოთხკუთხედს.
პარალელოგრამა
პარალელოგრამი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც გეომეტრიული ფიგურა ოთხი გვერდით, მოპირდაპირე გვერდებით ერთმანეთის პარალელურად. უფრო ზუსტად ეს არის ოთხკუთხედი ორი წყვილი პარალელური გვერდით. ეს პარალელური ბუნება პარალელოგრამებს მრავალ გეომეტრიულ მახასიათებელს აძლევს.
ოთხკუთხედი არის პარალელოგრამი, თუ ნაპოვნია შემდეგი გეომეტრიული მახასიათებლები.
• მოპირდაპირე მხარის ორი წყვილი სიგრძით ტოლია. (AB=DC, AD=BC)
• ორი წყვილი საპირისპირო კუთხე ტოლია ზომით. ([ლატექსი]D\ქუდი{A}B=B\ქუდი{C}D, A\ქუდი{D}C=A\ქუდი{B}C[/ლატექსი])
• თუ მიმდებარე კუთხეები დამატებითია [ლატექსი]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi რად[/ლატექსი]
• გვერდების წყვილი, რომლებიც ერთმანეთს უპირისპირდება, არის პარალელური და ტოლი სიგრძით. (AB=DC & AB∥DC)
• დიაგონალები ერთმანეთს ყოფენ (AO=OC, BO=OD)
• თითოეული დიაგონალი ყოფს ოთხკუთხედს ორ თანმიმდევრულ სამკუთხედად. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
შემდეგ, გვერდების კვადრატების ჯამი უდრის დიაგონალების კვადრატების ჯამს.ამას ზოგჯერ პარალელოგრამის კანონს უწოდებენ და ფართოდ გამოიყენება ფიზიკასა და ინჟინერიაში. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
თითოეული ზემოაღნიშნული მახასიათებელი შეიძლება გამოყენებულ იქნას თვისებად, მას შემდეგ რაც დადგინდება, რომ ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.
პარალელოგრამის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ერთი მხარის სიგრძისა და მოპირდაპირე მხარის სიმაღლის ნამრავლით. მაშასადამე, პარალელოგრამის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს როგორც
პარალელოგრამის ფართობი=ფუძე × სიმაღლე=AB×h
პარალელოგრამის ფართობი დამოუკიდებელია ცალკეული პარალელოგრამის ფორმისგან. იგი დამოკიდებულია მხოლოდ ფუძის სიგრძეზე და პერპენდიკულარულ სიმაღლეზე.
თუ პარალელოგრამის გვერდები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი ვექტორით, ფართობი შეიძლება მივიღოთ ორი მიმდებარე ვექტორის ვექტორული ნამრავლის (ჯვარედინი ნამრავლის) სიდიდით.
თუ მხარეები AB და AD წარმოდგენილია ვექტორებით ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) და ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) შესაბამისად, ზონის ფართობი პარალელოგრამი მოცემულია [ლატექსი]\მარცხნივ | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], სადაც α არის კუთხე [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] და [latex]\overrightarrow{AD}[/latex] შორის.
მოჰყვება პარალელოგრამის რამდენიმე მოწინავე თვისება;
• პარალელოგრამის ფართობი ორჯერ მეტია სამკუთხედის ფართობზე, რომელიც შექმნილია მისი რომელიმე დიაგონალის მიერ.
• პარალელოგრამის ფართობი იყოფა შუაზე ნებისმიერი ხაზით, რომელიც გადის შუა წერტილში.
• ნებისმიერი არადეგენერირებული აფინური ტრანსფორმაცია პარალელოგრამს იღებს სხვა პარალელოგრამზე
• პარალელოგრამს აქვს 2 რიგის ბრუნვის სიმეტრია
• მანძილების ჯამი პარალელოგრამის ნებისმიერი შიდა წერტილიდან გვერდებამდე დამოუკიდებელია წერტილის მდებარეობიდან
რა განსხვავებაა პარალელოგრამასა და ოთხკუთხედს შორის?
• ოთხკუთხედები არის მრავალკუთხედები ოთხი გვერდით (ზოგჯერ უწოდებენ ტეტრაგონებს), ხოლო პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედის განსაკუთრებული ტიპი.
• ოთხკუთხედებს შეიძლება ჰქონდეთ გვერდი სხვადასხვა სიბრტყეში (3D სივრცეში), ხოლო პარალელოგრამის ყველა გვერდი ერთსა და იმავე სიბრტყეზე დევს (გეგმა/2განზომილებიანი).
• ოთხკუთხედის შიდა კუთხეებს შეუძლიათ მიიღონ ნებისმიერი მნიშვნელობა (მათ შორის რეფლექსური კუთხეები) ისე, რომ მათ დაემატოს 3600. პარალელოგრამებს შეიძლება ჰქონდეთ მხოლოდ ბლაგვი კუთხეები, როგორც კუთხის მაქსიმალური ტიპი.
• ოთხკუთხედის ოთხი გვერდი შეიძლება იყოს სხვადასხვა სიგრძის, ხოლო პარალელოგრამის მოპირდაპირე გვერდები ყოველთვის ერთმანეთის პარალელურია და სიგრძით ტოლია.
• ნებისმიერი დიაგონალი ყოფს პარალელოგრამს ორ თანმიმდევრულ სამკუთხედად, ხოლო ზოგადი ოთხკუთხედის დიაგონალით წარმოქმნილი სამკუთხედები სულაც არ არის თანმიმდევრული.
