პარალელოგრამი მართკუთხედის წინააღმდეგ
პარალელოგრამი და მართკუთხედი ოთხკუთხედებია. ამ ფიგურების გეომეტრია ადამიანისთვის ცნობილი იყო ათასობით წლის განმავლობაში. ეს საკითხი ცალსახად არის განხილული ბერძენი მათემატიკოსის ევკლიდეს მიერ დაწერილ წიგნში „ელემენტები“.
პარალელოგრამა
პარალელოგრამი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც გეომეტრიული ფიგურა ოთხი გვერდით, მოპირდაპირე გვერდებით ერთმანეთის პარალელურად. უფრო ზუსტად ეს არის ოთხკუთხედი ორი წყვილი პარალელური გვერდით. ეს პარალელური ბუნება პარალელოგრამებს მრავალ გეომეტრიულ მახასიათებელს აძლევს.
ოთხკუთხედი არის პარალელოგრამი, თუ ნაპოვნია შემდეგი გეომეტრიული მახასიათებლები.
• მოპირდაპირე მხარის ორი წყვილი სიგრძით ტოლია. (AB=DC, AD=BC)
• ორი წყვილი საპირისპირო კუთხე ტოლია ზომით. ([ლატექსი]D\ქუდი{A}B=B\ქუდი{C}D, A\ქუდი{D}C=A\ქუდი{B}C[/ლატექსი])
• თუ მიმდებარე კუთხეები დამატებითია [ლატექსი]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi რად[/ლატექსი]
• გვერდების წყვილი, რომლებიც ერთმანეთს უპირისპირდება, არის პარალელური და ტოლი სიგრძით. (AB=DC & AB∥DC)
• დიაგონალები ერთმანეთს ყოფენ (AO=OC, BO=OD)
• თითოეული დიაგონალი ყოფს ოთხკუთხედს ორ თანმიმდევრულ სამკუთხედად. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
შემდეგ, გვერდების კვადრატების ჯამი უდრის დიაგონალების კვადრატების ჯამს. ამას ზოგჯერ პარალელოგრამის კანონს უწოდებენ და ფართოდ გამოიყენება ფიზიკასა და ინჟინერიაში. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
თითოეული ზემოაღნიშნული მახასიათებელი შეიძლება გამოყენებულ იქნას თვისებად, მას შემდეგ რაც დადგინდება, რომ ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.
პარალელოგრამის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ერთი მხარის სიგრძისა და მოპირდაპირე მხარის სიმაღლის ნამრავლით. მაშასადამე, პარალელოგრამის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს როგორც
პარალელოგრამის ფართობი=ფუძე × სიმაღლე=AB×h
პარალელოგრამის ფართობი დამოუკიდებელია ცალკეული პარალელოგრამის ფორმისგან. იგი დამოკიდებულია მხოლოდ ფუძის სიგრძეზე და პერპენდიკულარულ სიმაღლეზე.
თუ პარალელოგრამის გვერდები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი ვექტორით, ფართობი შეიძლება მივიღოთ ორი მიმდებარე ვექტორის ვექტორული ნამრავლის (ჯვარედინი ნამრავლის) სიდიდით.
თუ მხარეები AB და AD წარმოდგენილია ვექტორებით ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) და ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) შესაბამისად, ზონის ფართობი პარალელოგრამი მოცემულია [ლატექსი]\მარცხნივ | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], სადაც α არის კუთხე [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] და [latex]\overrightarrow{AD}[/latex] შორის.
მოჰყვება პარალელოგრამის რამდენიმე მოწინავე თვისება;
• პარალელოგრამის ფართობი ორჯერ მეტია სამკუთხედის ფართობზე, რომელიც შექმნილია მისი რომელიმე დიაგონალის მიერ.
• პარალელოგრამის ფართობი იყოფა შუაზე ნებისმიერი ხაზით, რომელიც გადის შუა წერტილში.
• ნებისმიერი არადეგენერირებული აფინური ტრანსფორმაცია პარალელოგრამს იღებს სხვა პარალელოგრამზე
• პარალელოგრამს აქვს 2 რიგის ბრუნვის სიმეტრია
• მანძილების ჯამი პარალელოგრამის ნებისმიერი შიდა წერტილიდან გვერდებამდე დამოუკიდებელია წერტილის მდებარეობიდან
მართკუთხედი
ოთხი მართკუთხა ოთხკუთხედი ცნობილია როგორც მართკუთხედი. ეს არის პარალელოგრამის განსაკუთრებული შემთხვევა, სადაც კუთხეები ნებისმიერ ორ მიმდებარე გვერდს შორის არის მართი.
პარალელოგრამის ყველა თვისების გარდა, მართკუთხედის გეომეტრიის განხილვისას შესაძლებელია დამატებითი მახასიათებლების ამოცნობა.
• ყველა კუთხე წვეროებთან არის მართკუთხა.
• დიაგონალები ტოლია სიგრძით და ისინი ერთმანეთს ყოფენ. მაშასადამე, გაყოფილი მონაკვეთები სიგრძითაც ტოლია.
• დიაგონალების სიგრძე შეიძლება გამოითვალოს პითაგორას თეორემის გამოყენებით:
PQ2 + PS2 =SQ2
• ფართობის ფორმულა მცირდება სიგრძისა და სიგანის ნამრავლამდე.
მართკუთხედის ფართობი=სიგრძე × სიგანე
• ბევრი სიმეტრიული თვისება გვხვდება ოთხკუთხედზე, როგორიცაა;
– მართკუთხედი არის ციკლური, სადაც ყველა წვერო შეიძლება განთავსდეს წრის პერიმეტრზე.
– ეს არის ტოლკუთხა, სადაც ყველა კუთხე ტოლია.
– ის იზოგონალურია, სადაც ყველა კუთხე ერთნაირი სიმეტრიის ორბიტაშია.
– მას აქვს როგორც ამრეკლი სიმეტრია, ასევე ბრუნვის სიმეტრია.
რა განსხვავებაა პარალელოგრამასა და ოთხკუთხედს შორის?
• პარალელოგრამი და მართკუთხედი ოთხკუთხედებია. მართკუთხედი არის პარალელოგრამების განსაკუთრებული შემთხვევა.
• ნებისმიერი ფართობის გამოთვლა შესაძლებელია ფორმულის საფუძველზე ×სიმაღლე.
• დიაგონალების გათვალისწინებით;
– პარალელოგრამის დიაგონალები ყოფენ ერთმანეთს და ყოფენ პარალელოგრამს ორი თანმიმდევრული სამკუთხედის შესაქმნელად.
– მართკუთხედის დიაგონალები სიგრძით ტოლია და ერთმანეთს ყოფენ; გაყოფილი მონაკვეთები სიგრძით თანაბარია. დიაგონალები ყოფენ ოთხკუთხედს ორ თანაბარ მართკუთხა სამკუთხედად.
• შიდა კუთხეების გათვალისწინებით;
– პარალელოგრამის მოპირდაპირე შიდა კუთხეები ტოლია ზომით. ორი მიმდებარე შიდა კუთხე დამატებითია
– ოთხკუთხედის ოთხივე შიდა კუთხე მართკუთხაა.
• მხარეების გათვალისწინებით;
– პარალელოგრამში გვერდების კვადრატების ჯამი უდრის დიაგონალის კვადრატების ჯამს (პარალელოგრამის კანონი)
– მართკუთხედებში ორი მიმდებარე გვერდის კვადრატების ჯამი უდრის ბოლოების დიაგონალის კვადრატს. (პითაგორას წესი)
