პარალელოგრამი vs ტრაპეცია
პარალელოგრამა და ტრაპეცია (ან ტრაპეცია) ორი ამოზნექილი ოთხკუთხედია. მიუხედავად იმისა, რომ ეს ოთხკუთხედებია, ტრაპეციის გეომეტრია მნიშვნელოვნად განსხვავდება პარალელოგრამებისგან.
პარალელოგრამა
პარალელოგრამი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც გეომეტრიული ფიგურა ოთხი გვერდით, მოპირდაპირე გვერდებით ერთმანეთის პარალელურად. უფრო ზუსტად ეს არის ოთხკუთხედი ორი წყვილი პარალელური გვერდით. ეს პარალელური ბუნება პარალელოგრამებს მრავალ გეომეტრიულ მახასიათებელს აძლევს.
ოთხკუთხედი არის პარალელოგრამი, თუ ნაპოვნია შემდეგი გეომეტრიული მახასიათებლები.
• მოპირდაპირე მხარის ორი წყვილი სიგრძით ტოლია. (AB=DC, AD=BC)
• ორი წყვილი საპირისპირო კუთხე ტოლია ზომით. ([ლატექსი]D\ქუდი{A}B=B\ქუდი{C}D, A\ქუდი{D}C=A\ქუდი{B}C[/ლატექსი])
• თუ მიმდებარე კუთხეები დამატებითია [ლატექსი]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi რად[/ლატექსი]
• გვერდების წყვილი, რომლებიც ერთმანეთს უპირისპირდება, არის პარალელური და ტოლი სიგრძით. (AB=DC & AB∥DC)
• დიაგონალები ერთმანეთს ყოფენ (AO=OC, BO=OD)
• თითოეული დიაგონალი ყოფს ოთხკუთხედს ორ თანმიმდევრულ სამკუთხედად. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
შემდეგ, გვერდების კვადრატების ჯამი უდრის დიაგონალების კვადრატების ჯამს. ამას ზოგჯერ პარალელოგრამის კანონს უწოდებენ და ფართოდ გამოიყენება ფიზიკასა და ინჟინერიაში. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
თითოეული ზემოაღნიშნული მახასიათებელი შეიძლება გამოყენებულ იქნას თვისებად, მას შემდეგ რაც დადგინდება, რომ ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.
პარალელოგრამის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ერთი მხარის სიგრძისა და მოპირდაპირე მხარის სიმაღლის ნამრავლით. მაშასადამე, პარალელოგრამის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს როგორც
პარალელოგრამის ფართობი=ფუძე × სიმაღლე=AB×h
პარალელოგრამის ფართობი დამოუკიდებელია ცალკეული პარალელოგრამის ფორმისგან. იგი დამოკიდებულია მხოლოდ ფუძის სიგრძეზე და პერპენდიკულარულ სიმაღლეზე.
თუ პარალელოგრამის გვერდები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი ვექტორით, ფართობი შეიძლება მივიღოთ ორი მიმდებარე ვექტორის ვექტორული ნამრავლის (ჯვარედინი ნამრავლის) სიდიდით.
თუ მხარეები AB და AD წარმოდგენილია ვექტორებით ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) და ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) შესაბამისად, ზონის ფართობი პარალელოგრამი მოცემულია [ლატექსი]\მარცხნივ | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], სადაც α არის კუთხე [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] და [latex]\overrightarrow{AD}[/latex] შორის.
მოჰყვება პარალელოგრამის რამდენიმე მოწინავე თვისება;
• პარალელოგრამის ფართობი ორჯერ მეტია სამკუთხედის ფართობზე, რომელიც შექმნილია მისი რომელიმე დიაგონალის მიერ.
• პარალელოგრამის ფართობი იყოფა შუაზე ნებისმიერი ხაზით, რომელიც გადის შუა წერტილში.
• ნებისმიერი არადეგენერირებული აფინური ტრანსფორმაცია პარალელოგრამს იღებს სხვა პარალელოგრამზე
• პარალელოგრამს აქვს 2 რიგის ბრუნვის სიმეტრია
• მანძილების ჯამი პარალელოგრამის ნებისმიერი შიდა წერტილიდან გვერდებამდე დამოუკიდებელია წერტილის მდებარეობიდან
ტრაპეცია
ტრაპეცია (ან ბრიტანულ ინგლისურად Trapezium) არის ამოზნექილი ოთხკუთხედი, სადაც მინიმუმ ორი გვერდი პარალელური და არატოლია სიგრძით. ტრაპეციის პარალელური მხარეები ცნობილია როგორც ფუძეები, ხოლო დანარჩენ ორ მხარეს ეწოდება ფეხები.
შემდეგ არის ტრაპეციის ძირითადი მახასიათებლები;
• თუ მიმდებარე კუთხეები არ არის ტრაპეციის ერთსა და იმავე ფუძეზე, ისინი დამატებითი კუთხეებია. ანუ ისინი ემატება 180°-მდე ([ლატექსი]B\hat{A}D+A\hat{D}C=A\hat{B}C+B\hat{C}D=180^{circ}[/ლატექსი])
• ტრაპეციის ორივე დიაგონალი ერთნაირი თანაფარდობით იკვეთება (დიაგონალების მონაკვეთებს შორის თანაფარდობა ტოლია).
• თუ a და b არის ფუძეები და c, d არის ფეხები, დიაგონალების სიგრძე მოცემულია -ით
[ლატექსი]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}[/latex]
და
[ლატექსი]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}}{b-a}}[/latex]
ტრაპეციის ფართობის გამოთვლა შესაძლებელია შემდეგი ფორმულის გამოყენებით
ტრაპეციის ფართობი=[latex]\frac{a+b}{2}\ჯერ h[/latex]
რა განსხვავებაა პარალელოგრამასა და ტრაპეციას (ტრაპეცია) შორის?
• ორივე პარალელოგრამი და ტრაპეცია ამოზნექილი ოთხკუთხედებია.
• პარალელოგრამში მოპირდაპირე მხარის ორივე წყვილი პარალელურია, ხოლო ტრაპეციაში მხოლოდ წყვილია პარალელური.
• პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება ერთმანეთს (1:1 შეფარდება), ხოლო ტრაპეციის დიაგონალები კვეთს კვეთებს შორის მუდმივი თანაფარდობით.
• პარალელოგრამის ფართობი დამოკიდებულია სიმაღლეზე და ფუძეზე, ხოლო ტრაპეციის ფართობი დამოკიდებულია სიმაღლეზე და შუა სეგმენტზე.
• პარალელოგრამში დიაგონალით წარმოქმნილი ორი სამკუთხედი ყოველთვის თანმიმდევრულია, ხოლო ტრაპეციის სამკუთხედები შეიძლება იყოს თანმიმდევრული ან არა.
