რიმანი ინტეგრალი vs Lebesgue Integral
ინტეგრაცია გაანგარიშების მთავარი თემაა. უფრო ფართო გაგებით, ინტეგრაცია შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც დიფერენციაციის საპირისპირო პროცესი. რეალური პრობლემების მოდელირებისას ადვილია წარმოებულების შემცველი გამონათქვამების დაწერა. ასეთ სიტუაციაში ინტეგრაციის ოპერაციაა საჭირო იმ ფუნქციის მოსაძებნად, რომელმაც მიიღო კონკრეტული წარმოებული.
სხვა კუთხით, ინტეგრაცია არის პროცესი, რომელიც აჯამებს ƒ(x) და δx ფუნქციის ნამრავლს, სადაც δx მიდრეკილია იყოს გარკვეული ზღვარი. ამიტომ, ჩვენ ვიყენებთ ინტეგრაციის სიმბოლოს როგორც ∫. სიმბოლო ∫ არის ფაქტობრივად, რასაც ვიღებთ ასო s-ის გაჭიმვით ჯამის მითითებით.
რიმანის ინტეგრალი
გაითვალისწინეთ ფუნქცია y=ƒ(x). y-ის ინტეგრალი a-სა და b-ს შორის, სადაც a და b ეკუთვნის x სიმრავლეს, იწერება როგორც b ∫ a ƒ(x) dx=[F (x)] a → b =F (b) – F (a). ამას ეწოდება ერთიანი მნიშვნელობითი და უწყვეტი ფუნქციის y=ƒ(x) განსაზღვრული ინტეგრალი a-სა და b-ს შორის. ეს იძლევა მრუდის ქვეშ არსებულ ფართობს a და b-ს შორის. ამას ასევე უწოდებენ რიმანის ინტეგრალს. რიმანის ინტეგრალი შეიქმნა ბერნჰარდ რიმანის მიერ. უწყვეტი ფუნქციის რიმანის ინტეგრალი ეფუძნება ჟორდანიას ზომას, ამიტომ იგი ასევე განისაზღვრება, როგორც ფუნქციის რიმანის ჯამების ზღვარი. დახურულ ინტერვალზე განსაზღვრული რეალური ღირებულების ფუნქციისთვის, ფუნქციის რიმანის ინტეგრალი x1, x2, …, x n განსაზღვრულია ინტერვალზე [a, b] და t1, t2, …, t n, სადაც xi ≤ ti ≤ xi+1 ყოველი i ε {1, 2, …, n}, რიმანის ჯამი განისაზღვრება, როგორც Σi=o n-1 ƒ(ti)(xi+1 – xi).
Lebesgue ინტეგრალი
Lebesgue არის ინტეგრალის კიდევ ერთი ტიპი, რომელიც მოიცავს მრავალფეროვან შემთხვევებს, ვიდრე რიმანის ინტეგრალი. ლებეგის ინტეგრალი შემოიღო ანრი ლებეგმა 1902 წელს. ლეგესგის ინტეგრაცია შეიძლება ჩაითვალოს რიმანის ინტეგრაციის განზოგადებად.
რატომ გვჭირდება სხვა ინტეგრალის შესწავლა?
მოდით განვიხილოთ დამახასიათებელი ფუნქცია ƒA (x)={0 თუ, x არა ε A1 თუ, x ε A A სიმრავლეზე. შემდეგ დამახასიათებელი ფუნქციების სასრული წრფივი კომბინაცია, რომელიც განისაზღვრება როგორც F (x)=Σ ai ƒ E i(x) ეწოდება მარტივ ფუნქციას, თუ E i არის გაზომვადი თითოეული i-სთვის. F (x)-ის ლებეგის ინტეგრალი E-ზე აღინიშნება E∫ ƒ(x)dx. ფუნქცია F (x) არ არის რიმანის ინტეგრირებადი. ამიტომ ლებეგის ინტეგრალი არის რიმანის ინტეგრალის ხელახალი ფრაზი, რომელსაც აქვს გარკვეული შეზღუდვები ინტეგრირებულ ფუნქციებზე.
რა განსხვავებაა Riemann Integral-სა და Lebesgue Integral-ს შორის?
· ლებეგის ინტეგრალი არის რიმანის ინტეგრალის განზოგადების ფორმა.
· ლებეგის ინტეგრალი იძლევა უწყვეტობათა თვლადი უსასრულობის საშუალებას, ხოლო რიმანის ინტეგრალი იძლევა უწყვეტობის სასრულ რაოდენობას.
