ლაპლასი vs ფურიეს ტრანსფორმები
როგორც ლაპლასის ტრანსფორმაცია, ასევე ფურიეს ტრანსფორმაცია არის ინტეგრალური გარდაქმნები, რომლებიც ყველაზე ხშირად გამოიყენება მათემატიკურად მოდელირებული ფიზიკური სისტემების გადასაჭრელად მათემატიკური მეთოდების სახით. პროცესი მარტივია. რთული მათემატიკური მოდელი გარდაიქმნება უფრო მარტივ, ამოხსნად მოდელში ინტეგრალური ტრანსფორმაციის გამოყენებით. მარტივი მოდელის ამოხსნის შემდეგ, გამოიყენება შებრუნებული ინტეგრალური ტრანსფორმაცია, რომელიც გადაწყვეტს თავდაპირველ მოდელს.
მაგალითად, რადგან ფიზიკური სისტემების უმეტესობა იწვევს დიფერენციალურ განტოლებებს, ისინი შეიძლება გარდაიქმნას ალგებრულ განტოლებად ან უფრო დაბალი ხარისხით ადვილად ამოსახსნელ დიფერენციალურ განტოლებებში ინტეგრალური ტრანსფორმაციის გამოყენებით. მაშინ პრობლემის გადაჭრა უფრო ადვილი გახდება.
რა არის ლაპლასის ტრანსფორმაცია?
რეალური t ცვლადის f (t) ფუნქციის გათვალისწინებით, მისი ლაპლასის ტრანსფორმაცია განისაზღვრება ინტეგრალით [ლატექსი] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (როდესაც ის არსებობს), რომელიც არის s კომპლექსური ცვლადის ფუნქცია. ჩვეულებრივ აღინიშნება L { f (t)}-ით. F (s) ფუნქციის შებრუნებული ლაპლასის გარდაქმნა მიიღება f (t) ფუნქციად ისე, რომ L { f (t)}=F (s) და ჩვეულებრივ მათემატიკური აღნიშვნით ვწერთ, L. -1{ F (s)}=f (t). ინვერსიული ტრანსფორმაცია შეიძლება იყოს უნიკალური, თუ ნულოვანი ფუნქციები დაუშვებელია. შეიძლება ამ ორის იდენტიფიცირება, როგორც ფუნქციის სივრცეში განსაზღვრული წრფივი ოპერატორები, და ასევე ადვილია ამის დანახვა, L -1{ L { f (t)}}=f (t), თუ ნულოვანი ფუნქციები დაუშვებელია.
შემდეგ ცხრილში მოცემულია ზოგიერთი ყველაზე გავრცელებული ფუნქციის ლაპლასის გარდაქმნები.
რა არის ფურიეს ტრანსფორმაცია?
რეალური t ცვლადის f (t) ფუნქციის გათვალისწინებით, მისი ლაპლასის ტრანსფორმაცია განისაზღვრება ინტეგრალით [ლატექსი] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (როდესაც ის არსებობს), და ჩვეულებრივ აღინიშნება F { f (ტ)}. შებრუნებული ტრანსფორმაცია F -1{ F (α)} მოცემულია ინტეგრალით [ლატექსი] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/ლატექსი]. ფურიეს ტრანსფორმაცია ასევე წრფივია და შეიძლება ჩაითვალოს ფუნქციის სივრცეში განსაზღვრულ ოპერატორად.
ფურიეს ტრანსფორმაციის გამოყენებით, ორიგინალური ფუნქცია შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად, იმ პირობით, რომ ფუნქციას აქვს მხოლოდ სასრული რაოდენობის შეწყვეტა და არის აბსოლუტურად ინტეგრირებადი.
რა განსხვავებაა ლაპლასისა და ფურიეს გარდაქმნებს შორის?
- F (t) ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაცია განისაზღვრება როგორც [ლატექსი] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], ხოლო მისი ლაპლასის ტრანსფორმაცია განისაზღვრება, როგორც [ლატექსი] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- ფურიეს ტრანსფორმაცია განისაზღვრება მხოლოდ ყველა რეალური რიცხვისთვის განსაზღვრული ფუნქციებისთვის, მაშინ როცა ლაპლასის ტრანსფორმაცია არ საჭიროებს ფუნქციის განსაზღვრას უარყოფით რეალურ რიცხვებში.
- ფურიეს ტრანსფორმაცია ლაპლასის გარდაქმნის განსაკუთრებული შემთხვევაა. ჩანს, რომ ორივე ემთხვევა არაუარყოფით რეალურ რიცხვებს. (ანუ აიღეთ s ლაპლასში, როგორც iα + β, სადაც α და β რეალურია ისე, რომ e β=1/ √(2ᴫ))
- ყველა ფუნქციას, რომელსაც აქვს ფურიეს ტრანსფორმაცია, ექნება ლაპლასის ტრანსფორმაცია, მაგრამ არა პირიქით.
