სხვაობა არითმეტიკურ მიმდევრობასა და გეომეტრიულ მიმდევრობას შორის

2024 ავტორი: Alex Aldridge | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-17 23:37

არითმეტიკული მიმდევრობა გეომეტრიული მიმდევრობის წინააღმდეგ

რიცხვების შაბლონებისა და მათი ქცევის შესწავლა მნიშვნელოვანი კვლევაა მათემატიკის სფეროში. ხშირად ეს ნიმუშები ბუნებაში ჩანს და გვეხმარება მათი ქცევის მეცნიერული თვალსაზრისით ახსნაში. არითმეტიკული მიმდევრობები და გეომეტრიული მიმდევრობები არის ორი ძირითადი ნიმუში, რომლებიც გვხვდება რიცხვებში და ხშირად გვხვდება ბუნებრივ მოვლენებში.

მიმდევრობა არის შეკვეთილი რიცხვების ნაკრები. ელემენტების რაოდენობა მიმდევრობაში შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო.

მეტი არითმეტიკული მიმდევრობის შესახებ (არითმეტრიული პროგრესია)

არითმეტიკული თანმიმდევრობა განისაზღვრება, როგორც რიცხვების თანმიმდევრობა მუდმივი სხვაობით თითოეულ თანმიმდევრულ წევრს შორის. იგი ასევე ცნობილია როგორც არითმეტიკული პროგრესია.

არითმეტიკული თანმიმდევრობა ⇒ a₁, a₂, a_3, ა₄ , …, a_n; სადაც ₂ =a₁ + დ, a₃ =a_{2+ d და ასე შემდეგ.}

თუ საწყისი წევრი არის a₁ და საერთო სხვაობა არის d, მაშინ მიმდევრობის n^{მე წევრი მოცემულია;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

ზემოაღნიშნული შედეგის შემდგომი მიღებით, n^{მე შეიძლება მიენიჭოს ასევე;}

a_n =a_მ + (n-m)d, სადაც a_{მ არის შემთხვევითი ტერმინი ისეთი თანმიმდევრობით, რომ n > m.}

ლუწი რიცხვების სიმრავლე და კენტი რიცხვების სიმრავლე არის არითმეტიკული მიმდევრობის უმარტივესი მაგალითები, სადაც თითოეულ მიმდევრობას აქვს საერთო განსხვავება (დ) 2.

მიმდევრობის წევრთა რაოდენობა შეიძლება იყოს უსასრულო ან სასრული.უსასრულო შემთხვევაში (n → ∞), მიმდევრობა მიისწრაფვის უსასრულობისკენ, რაც დამოკიდებულია საერთო განსხვავებაზე (a_{n → ±∞). თუ საერთო სხვაობა დადებითია (d > 0), მიმდევრობა მიდრეკილია დადებითი უსასრულობისკენ და, თუ საერთო სხვაობა უარყოფითია (d < 0), ის მიდრეკილია უარყოფითი უსასრულობისკენ. თუ ტერმინები სასრულია, მიმდევრობაც სასრულია.}

არითმეტიკული მიმდევრობის ტერმინების ჯამი ცნობილია როგორც არითმეტიკული სერია: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{და S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] იძლევა მნიშვნელობას სერია (S}n)

მეტი გეომეტრიული მიმდევრობის შესახებ (გეომეტრიული პროგრესია)

გეომეტრიული მიმდევრობა განისაზღვრება, როგორც მიმდევრობა, რომელშიც ნებისმიერი ორი თანმიმდევრული წევრის კოეფიციენტი არის მუდმივი. ეს ასევე ცნობილია როგორც გეომეტრიული პროგრესია.

გეომეტრიული თანმიმდევრობა ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; სადაც a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r და ასე შემდეგ, სადაც r არის რეალური რიცხვი.}

უფრო ადვილია გეომეტრიული მიმდევრობის წარმოდგენა საერთო თანაფარდობის (r) და საწყისი წევრის (a) გამოყენებით. აქედან გამომდინარეობს გეომეტრიული თანმიმდევრობა ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_რn-1.

n^-ე ტერმინების ზოგადი ფორმა მოცემულია a_n =a₁r ^n-1. (საწყისი ტერმინის ხელმოწერის დაკარგვა ⇒ a_n =ar^n-1)

გეომეტრიული მიმდევრობა ასევე შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო. თუ წევრთა რაოდენობა სასრულია, მიმდევრობა სასრულია. და თუ ტერმინები უსასრულოა, თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს უსასრულო ან სასრული, რაც დამოკიდებულია r თანაფარდობაზე. საერთო თანაფარდობა გავლენას ახდენს გეომეტრიული მიმდევრობის ბევრ თვისებაზე.

r > o	0 < r < +1	მიმდევრობა კონვერგირდება - ექსპონენციალური დაშლა, ანუ an → 0, n → ∞
	r=1	მუდმივი მიმდევრობა, ანუ an=მუდმივი
	r > 1	მიმდევრობა განსხვავდება - ექსპონენციალური ზრდა, ანუ an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	მიმდევრობა რხევადია, მაგრამ ემთხვევა
	r=1	მიმდევრობა არის ალტერნატიული და მუდმივი, ანუ an=±მუდმივი
	r < -1	მიმდევრობა ალტერნატიულია და განსხვავდება. ანუ an → ±∞, n → ∞
r=0	მიმდევრობა არის ნულების სტრიქონი

N. B: ყველა ზემოთ მოცემულ შემთხვევაში, a₁ > 0; თუ a₁ < 0, ნიშნები, რომლებიც დაკავშირებულია a_{n იქნება ინვერსიული.}

ბურთის მობრუნებებს შორის დროის ინტერვალი მიჰყვება გეომეტრიულ მიმდევრობას იდეალურ მოდელში და ეს არის კონვერგენტული მიმდევრობა.

გეომეტრიული მიმდევრობის ტერმინთა ჯამი ცნობილია როგორც გეომეტრიული რიგი; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. გეომეტრიული სერიების ჯამი შეიძლება გამოითვალოს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); სადაც a არის საწყისი წევრი და r არის თანაფარდობა.}

თუ თანაფარდობა, r ≤ 1, სერია იყრის თავს. უსასრულო სერიისთვის, კონვერგენციის მნიშვნელობა მოცემულია S_{n=a/(1-r)-ით}

რა განსხვავებაა არითმეტიკასა და გეომეტრიულ მიმდევრობას/პროგრესიას შორის?

• არითმეტიკულ მიმდევრობაში ნებისმიერ ორ თანმიმდევრულ წევრს აქვს საერთო განსხვავება (d), ხოლო გეომეტრიულ მიმდევრობაში ნებისმიერ ორ თანმიმდევრულ წევრს აქვს მუდმივი კოეფიციენტი (r).

• არითმეტიკული თანმიმდევრობით, ტერმინების ცვალებადობა წრფივია, ანუ სწორი ხაზის დახატვა შესაძლებელია ყველა წერტილის გავლით. გეომეტრიულ სერიაში ცვალებადობა ექსპონენციალურია; იზრდება ან იშლება საერთო თანაფარდობის საფუძველზე.

• ყველა უსასრულო არითმეტიკული მიმდევრობა განსხვავებულია, ხოლო უსასრულო გეომეტრიული რიგი შეიძლება იყოს დივერგენციული ან კონვერგენციული.

• გეომეტრიულ სერიას შეუძლია აჩვენოს რხევა, თუ თანაფარდობა r უარყოფითია, ხოლო არითმეტიკული სერია არ აჩვენებს რხევას