არითმეტიკა გეომეტრიული სერიების წინააღმდეგ
სერიის მათემატიკური განმარტება მჭიდროდ არის დაკავშირებული მიმდევრობებთან. მიმდევრობა არის რიცხვების მოწესრიგებული სიმრავლე და შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო სიმრავლე. რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელშიც განსხვავება ორ ელემენტს შორის არის მუდმივი, ცნობილია როგორც არითმეტიკული პროგრესია. ორი თანმიმდევრული რიცხვის მუდმივი კოეფიციენტის მქონე მიმდევრობა ცნობილია როგორც გეომეტრიული პროგრესია. ეს პროგრესიები შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო, ხოლო თუ სასრულია, ტერმინების რაოდენობა თვლადია, სხვა შემთხვევაში - დაუთვლადი.
ზოგადად, პროგრესიის ელემენტების ჯამი შეიძლება განისაზღვროს როგორც სერია. არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი ცნობილია როგორც არითმეტიკული სერია. ანალოგიურად, გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი ცნობილია როგორც გეომეტრიული სერია.
მეტი არითმეტიკული სერიების შესახებ
არითმეტიკული სერიებში თანმიმდევრულ წევრებს აქვთ მუდმივი სხვაობა.
Sn =a1 + a2 + a3+ a4 +⋯+ an =∑i=1ai; სადაც 2 =a1 + დ, a3 =a2 + d და ასე შემდეგ.
ეს სხვაობა d ცნობილია როგორც საერთო სხვაობა, ხოლო n ტერმინი მოცემულია an =a 1+ (n-1)d; სადაც 1 არის პირველი წევრი.
სერიის ქცევა იცვლება საერთო განსხვავების საფუძველზე დ. თუ საერთო განსხვავება დადებითია, პროგრესია მიდრეკილია დადებითი უსასრულობისკენ, ხოლო თუ საერთო განსხვავება უარყოფითია, ის მიდრეკილია უარყოფითი უსასრულობისკენ.
სერიის ჯამი შეიძლება მივიღოთ შემდეგი მარტივი ფორმულით, რომელიც პირველად შეიმუშავა ინდოელმა ასტრონომმა და მათემატიკოსმა არიაბჰატამ.
Sn =n/2 (a1+ an)=n/2 [2a1 + (n-1)d]
ჯამი Sn შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო, ტერმინების რაოდენობის მიხედვით.
მეტი გეომეტრიული სერიების შესახებ
გეომეტრიული რიგი არის რიგი, რომელსაც თანმიმდევრული რიცხვების კოეფიციენტი აქვს მუდმივი. ეს არის მნიშვნელოვანი სერია, რომელიც ნაპოვნია სერიის შესწავლაში, მისი თვისებების გამო.
Sn =ar + ar2 + ar3 +⋯+ ar n =∑i=1 ari
R თანაფარდობიდან გამომდინარე, სერიების ქცევა შეიძლება დაიყოს შემდეგნაირად. r={|r|≥1 სერია განსხვავდება; r≤1 სერია იყრის}. ასევე, თუ r<0 სერია რხევა, ანუ სერიას აქვს ალტერნატიული მნიშვნელობები.
გეომეტრიული სერიების ჯამი შეიძლება გამოითვალოს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით. Sn =a(1-r) / (1-r); სადაც a არის საწყისი წევრი და r არის თანაფარდობა. თუ თანაფარდობა r≤1, სერია იყრის თავს. უსასრულო სერიისთვის, კონვერგენციის მნიშვნელობა მოცემულია Sn=a / (1-r).
გეომეტრიულ სერიებს აქვს მრავალი გამოყენება ფიზიკური მეცნიერებების, ინჟინერიისა და ეკონომიკის სფეროებში
რა განსხვავებაა არითმეტიკურ და გეომეტრიულ სერიებს შორის?
• არითმეტიკული სერია არის რიგი მუდმივი სხვაობით ორ მიმდებარე წევრს შორის.
• გეომეტრიული რიგი არის რიგი მუდმივი კოეფიციენტით ორ თანმიმდევრულ წევრებს შორის.
• ყველა უსასრულო არითმეტიკული სერიები ყოველთვის განსხვავებულია, მაგრამ თანაფარდობიდან გამომდინარე, გეომეტრიული რიგი შეიძლება იყოს კონვერგენციული ან განსხვავებული.
• გეომეტრიულ სერიას შეიძლება ჰქონდეს რხევა მნიშვნელობებში; ანუ რიცხვები ალტერნატიულად ცვლიან ნიშანს, მაგრამ არითმეტიკული სერიები არ შეიძლება ჰქონდეს რხევები.
