წრფივი vs არაწრფივი დიფერენციალური განტოლებები
განტოლება, რომელიც შეიცავს მინიმუმ ერთ დიფერენციალურ კოეფიციენტს ან უცნობი ცვლადის წარმოებულს, ცნობილია როგორც დიფერენციალური განტოლება. დიფერენციალური განტოლება შეიძლება იყოს წრფივი ან არაწრფივი. ამ სტატიის მიზანია ახსნას რა არის წრფივი დიფერენციალური განტოლება, რა არის არაწრფივი დიფერენციალური განტოლება და რა განსხვავებაა წრფივ და არაწრფივ დიფერენციალურ განტოლებებს შორის.
მას შემდეგ, რაც მე-18 საუკუნეში მათემატიკოსები, როგორიცაა ნიუტონი და ლაიბნიცი, კალკულუსი შექმნეს, დიფერენციალურმა განტოლებამ მნიშვნელოვანი როლი ითამაშა მათემატიკის ისტორიაში.დიფერენციალურ განტოლებებს დიდი მნიშვნელობა აქვს მათემატიკაში მათი გამოყენების სპექტრის გამო. დიფერენციალური განტოლებები არის ყველა მოდელის გულში, რომელსაც ჩვენ ვავითარებთ, რათა ავხსნათ ნებისმიერი სცენარი ან მოვლენა მსოფლიოში, იქნება ეს ფიზიკაში, ინჟინერიაში, ქიმიაში, სტატისტიკაში, ფინანსურ ანალიზში თუ ბიოლოგიაში (სია უსასრულოა). ფაქტობრივად, სანამ გაანგარიშება არ გახდა დამკვიდრებული თეორია, სათანადო მათემატიკური ხელსაწყოები არ იყო ხელმისაწვდომი ბუნებაში არსებული საინტერესო ამოცანების გასაანალიზებლად.
გამოთვლების კონკრეტული გამოყენების შედეგად მიღებული განტოლებები შეიძლება იყოს ძალიან რთული და ზოგჯერ არა ამოსახსნელი. თუმცა, არის ისეთებიც, რომელთა მოგვარებაც შეგვიძლია, მაგრამ შეიძლება ჰგავდეს და დამაბნეველი იყოს. ამიტომ, უფრო ადვილი იდენტიფიკაციისთვის დიფერენციალური განტოლებები კატეგორიზებულია მათი მათემატიკური ქცევის მიხედვით. ხაზოვანი და არაწრფივი არის ერთ-ერთი ასეთი კატეგორიზაცია. მნიშვნელოვანია განისაზღვროს განსხვავება წრფივ და არაწრფივ დიფერენციალურ განტოლებებს შორის.
რა არის წრფივი დიფერენციალური განტოლება?
ვთქვათ, რომ f: X→Y და f(x)=y, დიფერენციალური განტოლება უცნობი ფუნქციის y და მისი წარმოებულების არაწრფივი წევრების გარეშე ცნობილია როგორც წრფივი დიფერენციალური განტოლება.
ის აწესებს პირობას, რომ y არ შეიძლება ჰქონდეს უფრო მაღალი ინდექსის ტერმინები, როგორიცაა y2, y3, … და წარმოებულის ნამრავლები, როგორიცაა როგორც
ის ასევე არ შეიძლება შეიცავდეს არაწრფივ ტერმინებს, როგორიცაა Sin y, e y ^-2, ან ln y. ის იღებს ფორმას,
სადაც y და g არის x-ის ფუნქციები. განტოლება არის n რიგის დიფერენციალური განტოლება, რომელიც არის უმაღლესი რიგის წარმოებულის ინდექსი.
წრფივი დიფერენციალური განტოლებისას დიფერენციალური ოპერატორი არის წრფივი ოპერატორი და ამონახსნები ქმნიან ვექტორულ სივრცეს. ამონახსნების სიმრავლის წრფივი ბუნების შედეგად, ამონახსნების წრფივი კომბინაცია ასევე წარმოადგენს დიფერენციალური განტოლების ამოხსნას. ანუ, თუ y1 და y2 არის დიფერენციალური განტოლების ამონახსნები, მაშინ C1 y 1+ C2 y2 ასევე გამოსავალია.
განტოლების წრფივიობა კლასიფიკაციის მხოლოდ ერთი პარამეტრია და ის შემდგომში შეიძლება დაიყოს ჰომოგენურ ან არაერთგვაროვან და ჩვეულებრივ ან ნაწილობრივ დიფერენციალურ განტოლებად.თუ ფუნქცია არის g=0, მაშინ განტოლება არის წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება. თუ f არის ორი ან მეტი დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქცია (f: X, T→Y) და f(x, t)=y, მაშინ განტოლება არის წრფივი ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლება.
დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის მეთოდი დამოკიდებულია დიფერენციალური განტოლების ტიპზე და კოეფიციენტებზე. უმარტივესი შემთხვევა ჩნდება, როდესაც კოეფიციენტები მუდმივია. ამ შემთხვევისთვის კლასიკური მაგალითია ნიუტონის მოძრაობის მეორე კანონი და მისი სხვადასხვა გამოყენება. ნიუტონის მეორე კანონი აწარმოებს მეორე რიგის წრფივ დიფერენციალურ განტოლებას მუდმივი კოეფიციენტებით.
რა არის არაწრფივი დიფერენციალური განტოლება?
განტოლებები, რომლებიც შეიცავს არაწრფივ ტერმინებს, ცნობილია როგორც არაწრფივი დიფერენციალური განტოლებები.
ყველა ზემოთ არის არაწრფივი დიფერენციალური განტოლებები. არაწრფივი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა რთულია, ამიტომ სწორი ამონახსნის მისაღებად საჭიროა მჭიდრო შესწავლა. ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებების შემთხვევაში განტოლებების უმეტესობას არ გააჩნია ზოგადი ამონახსნები. ამიტომ, თითოეული განტოლება დამოუკიდებლად უნდა განიხილებოდეს.
ნავიერ-სტოუკსის განტოლება და ეილერის განტოლება სითხის დინამიკაში, აინშტაინის ფარდობითობის ზოგადი ფარდობითობის ველის განტოლებები კარგად არის ცნობილი არაწრფივი ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებები. ზოგჯერ ლაგრანგის განტოლების გამოყენებამ ცვლად სისტემაზე შეიძლება გამოიწვიოს არაწრფივი ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებების სისტემა.
რა განსხვავებაა წრფივ და არაწრფივ დიფერენციალურ განტოლებებს შორის?
• დიფერენციალური განტოლება, რომელსაც აქვს მხოლოდ უცნობი ან დამოკიდებული ცვლადის წრფივი წევრები და მისი წარმოებულები, ცნობილია როგორც წრფივი დიფერენციალური განტოლება. მას არ აქვს ტერმინი 1-ზე მაღალი ინდექსის დამოკიდებული ცვლადით და არ შეიცავს მის წარმოებულებს. მას არ შეიძლება ჰქონდეს არაწრფივი ფუნქციები, როგორიცაა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, ექსპონენციალური ფუნქცია და ლოგარითმული ფუნქციები დამოკიდებული ცვლადის მიმართ. ნებისმიერი დიფერენციალური განტოლება, რომელიც შეიცავს ზემოთ აღნიშნულ ტერმინებს, არის არაწრფივი დიფერენციალური განტოლება.
• წრფივი დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნები ქმნის ვექტორულ სივრცეს და დიფერენციალური ოპერატორი ასევე არის წრფივი ოპერატორი ვექტორულ სივრცეში.
• წრფივი დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნები შედარებით მარტივია და არსებობს ზოგადი ამონახსნები. არაწრფივი განტოლებისთვის, უმეტეს შემთხვევაში, ზოგადი ამონახსნები არ არსებობს და გამოსავალი შეიძლება იყოს პრობლემის სპეციფიკური. ეს ართულებს გამოსავალს, ვიდრე წრფივი განტოლებები.
