სხვაობა ინტეგრაციასა და შეჯამებას შორის

2024 ავტორი: Alex Aldridge | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2023-12-17 13:43

ინტეგრაცია vs შეჯამება

უმაღლესი სკოლის მათემატიკაში ინტეგრაცია და შეჯამება ხშირად გვხვდება მათემატიკურ ოპერაციებში. როგორც ჩანს, ისინი გამოიყენება როგორც სხვადასხვა იარაღები და სხვადასხვა სიტუაციებში, მაგრამ მათ აქვთ ძალიან მჭიდრო ურთიერთობა.

მეტი შეჯამების შესახებ

ჯამობა არის რიცხვების მიმდევრობის დამატების ოპერაცია და ოპერაცია ხშირად აღინიშნება ბერძნული სიგმას დიდი ასოთი Σ. იგი გამოიყენება შეჯამების შესასრულებლად და უდრის მიმდევრობის ჯამს/ჯამს. ისინი ხშირად გამოიყენება სერიების წარმოსადგენად, რომლებიც არსებითად არის შეჯამებული უსასრულო თანმიმდევრობა.ისინი ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ვექტორების, მატრიცების ან მრავალწევრების ჯამის აღსანიშნავად.

შეჯამება ჩვეულებრივ კეთდება მნიშვნელობების დიაპაზონისთვის, რომელიც შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ზოგადი ტერმინით, როგორიცაა რიგი, რომელსაც აქვს საერთო ტერმინი. შეჯამების საწყისი და საბოლოო წერტილი ცნობილია, როგორც შეჯამების ქვედა და ზედა ზღვარი.

მაგალითად, მიმდევრობის ჯამი a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n არის ₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n, რომელიც მარტივად შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემაჯამებელი აღნიშვნის გამოყენებით, როგორც ∑ _i=1 a_{i; მე ჰქვია შეჯამების ინდექსი.}

აპლიკაციის საფუძველზე შეჯამებისთვის გამოიყენება მრავალი ვარიაცია. ზოგიერთ შემთხვევაში, ზედა და ქვედა ზღვარი შეიძლება მიეთითოს როგორც ინტერვალი ან დიაპაზონი, როგორიცაა ∑_1≤i≤100 a_i და ∑_{i∈[1, 100]} a_i ან შეიძლება იყოს მოცემული როგორც რიცხვების ნაკრები, როგორიცაა ∑_i∈P a_{i, სადაც P არის განსაზღვრული სიმრავლე.}

ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება გამოყენებულ იქნას ორი ან მეტი სიგმას ნიშანი, მაგრამ მათი განზოგადება შესაძლებელია შემდეგნაირად; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

ასევე, შეჯამება მიჰყვება ბევრ ალგებრულ წესს. ვინაიდან ჩაშენებული ოპერაცია არის დამატება, ალგებრის მრავალი საერთო წესი შეიძლება გამოყენებულ იქნას თავად ჯამებზე და შეჯამებით გამოსახულ ცალკეულ ტერმინებზე.

მეტი ინტეგრაციის შესახებ

ინტეგრაცია განისაზღვრება, როგორც დიფერენცირების საპირისპირო პროცესი. მაგრამ მისი გეომეტრიული ხედვით ის ასევე შეიძლება ჩაითვალოს ფუნქციისა და ღერძის მრუდით შემოსაზღვრულ ფართობად. აქედან გამომდინარე, ფართობის გამოთვლა იძლევა განსაზღვრული ინტეგრალის მნიშვნელობას, როგორც ეს ნაჩვენებია დიაგრამაზე.

სურათის წყარო:

განსაზღვრული ინტეგრალის მნიშვნელობა რეალურად არის მრუდისა და ღერძის შიგნით არსებული პატარა ზოლების ჯამი. თითოეული ზოლის ფართობი არის სიმაღლე×სიგანე განხილული ღერძის წერტილში. სიგანე არის მნიშვნელობა, რომელიც შეგვიძლია ავირჩიოთ, ვთქვათ ∆x. და სიმაღლე არის დაახლოებით ფუნქციის მნიშვნელობა განხილულ წერტილში, ვთქვათ f (x_{i). დიაგრამიდან ჩანს, რომ რაც უფრო პატარაა ზოლები, ზოლები უკეთესად ჯდება შეზღუდულ ზონაში, შესაბამისად მნიშვნელობის უკეთესი მიახლოება.}

ასე რომ, ზოგადად განსაზღვრული ინტეგრალი I, a და b წერტილებს შორის (ანუ [a, b] ინტერვალში, სადაც a<b), შეიძლება მიცემული იყოს როგორც I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, სადაც n არის ზოლების რაოდენობა (n=(b-a)/∆x). ფართობის ეს ჯამი ადვილად შეიძლება იყოს წარმოდგენილი შემაჯამებელი აღნიშვნის გამოყენებით, როგორც I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x.ვინაიდან მიახლოება უკეთესია, როდესაც ∆x უფრო მცირეა, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ მნიშვნელობა, როდესაც ∆x→0. ამიტომ, გონივრულია ვთქვათ I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

როგორც ზემოაღნიშნული კონცეფციის განზოგადება, ჩვენ შეგვიძლია ავირჩიოთ ∆x განხილული ინტერვალის საფუძველზე, რომელიც ინდექსირებულია i-ით (პოზიციის მიხედვით ფართობის სიგანის არჩევა). შემდეგ მივიღებთ

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

ეს ცნობილია როგორც f (x) ფუნქციის რეიმანის ინტეგრალი [a, b] ინტერვალში. ამ შემთხვევაში a და b ცნობილია როგორც ინტეგრალის ზედა ზღვარი და ქვედა ზღვარი. რეიმანის ინტეგრალი არის ყველა ინტეგრაციის მეთოდის ძირითადი ფორმა.

არსებითად, ინტეგრაცია არის იმ ფართობის ჯამი, როდესაც მართკუთხედის სიგანე უსასრულოდ მცირეა.

რა განსხვავებაა ინტეგრაციასა და შეჯამებას შორის?

• შეჯამება არის რიცხვების მიმდევრობის შეკრება. ჩვეულებრივ, ჯამი მოცემულია ამ ფორმით ∑_i=1 a_{i, როდესაც თანმიმდევრობის ტერმინები აქვს ნიმუში და შეიძლება გამოიხატოს ზოგადი ტერმინის გამოყენებით.}

• ინტეგრაცია ძირითადად არის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ფუნქციის მრუდით, ღერძით და ზედა და ქვედა საზღვრებით. ეს ფართობი შეიძლება მიღებულ იქნეს როგორც ბევრად უფრო მცირე ფართობების ჯამი, რომელიც შედის შემოსაზღვრულ ზონაში.

• შეჯამება მოიცავს დისკრეტულ მნიშვნელობებს ზედა და ქვედა საზღვრებთან, ხოლო ინტეგრაცია მოიცავს უწყვეტ მნიშვნელობებს.

• ინტეგრაცია შეიძლება განიმარტოს როგორც შეჯამების სპეციალური ფორმა.

• რიცხვითი გამოთვლის მეთოდებში ინტეგრაცია ყოველთვის შეჯამების სახით ხდება.