ინტეგრაცია vs დიფერენციაცია
ინტეგრაცია და დიფერენციაცია არის ორი ფუნდამენტური ცნება კალკულუსში, რომელიც სწავლობს ცვლილებას. კალკულუსს აქვს მრავალფეროვანი აპლიკაციები ბევრ სფეროში, როგორიცაა მეცნიერება, ეკონომიკა ან ფინანსები, ინჟინერია და ა.შ.
დიფერენციაცია
დიფერენციაცია არის წარმოებულების გამოთვლის ალგებრული პროცედურა. ფუნქციის წარმოებული არის მრუდის (გრაფიკის) დახრილობა ან გრადიენტი ნებისმიერ მოცემულ წერტილში. მრუდის გრადიენტი ნებისმიერ მოცემულ წერტილში არის მოცემულ წერტილში ამ მრუდზე დახატული ტანგენტის გრადიენტი. არაწრფივი მოსახვევებისთვის, მრუდის გრადიენტი შეიძლება განსხვავდებოდეს ღერძის გასწვრივ სხვადასხვა წერტილში.აქედან გამომდინარე, ძნელია გამოთვალოთ გრადიენტი ან დახრილობა ნებისმიერ წერტილში. დიფერენციაციის პროცესი სასარგებლოა მრუდის გრადიენტის გამოსათვლელად ნებისმიერ წერტილში.
წარმოებულის კიდევ ერთი განმარტება არის „საკუთრების ცვლილება სხვა თვისების ერთეულთან მიმართებაში“.
მოდით, f(x) იყოს x დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქცია. თუ დამოუკიდებელ x ცვლადში მცირე ცვლილება (∆x) არის გამოწვეული, შესაბამისი ცვლილება ∆f(x) ხდება f(x) ფუნქციაში; მაშინ თანაფარდობა ∆f(x)/∆x არის f(x) ცვლილების სიჩქარის საზომი x-ის მიმართ. ამ თანაფარდობის ზღვრული მნიშვნელობა, რადგან ∆x მიდრეკილია ნულისკენ, lim∆x→0(f(x)/∆x) ეწოდება f(x) ფუნქციის პირველ წარმოებულს., x-ის მიმართ; სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, f(x)-ის მყისიერი ცვლილება მოცემულ x წერტილში.
ინტეგრაცია
ინტეგრაცია არის განსაზღვრული ინტეგრალის ან განუსაზღვრელი ინტეგრალის გამოთვლის პროცესი. რეალური ფუნქციისთვის f(x) და დახურული ინტერვალისთვის [a, b] რეალურ წრფეზე, განსაზღვრული ინტეგრალი, a∫b f(x), განისაზღვრება, როგორც ფართობი ფუნქციის გრაფიკს, ჰორიზონტალურ ღერძსა და ორ ვერტიკალურ ხაზს შორის ინტერვალის ბოლო წერტილებში.როდესაც კონკრეტული ინტერვალი არ არის მოცემული, იგი ცნობილია როგორც განუსაზღვრელი ინტეგრალი. განსაზღვრული ინტეგრალი შეიძლება გამოითვალოს ანტი წარმოებულების გამოყენებით.
რა განსხვავებაა ინტეგრაციასა და დიფერენციაციას შორის?
განსხვავება ინტეგრაციასა და დიფერენციაციას შორის არის ერთგვარი განსხვავება "კვადრატში" და "კვადრატული ფესვის აღებას" შორის. თუ კვადრატში დავდებთ დადებით რიცხვს და შემდეგ ავიღებთ შედეგის კვადრატულ ფესვს, დადებითი კვადრატული ფესვის მნიშვნელობა იქნება ის რიცხვი, რომელიც თქვენ კვადრატში მოათავსეთ. ანალოგიურად, თუ თქვენ გამოიყენებთ ინტეგრაციას f(x) უწყვეტი ფუნქციის დიფერენცირებით მიღებულ შედეგზე, ის დაუბრუნდება თავდაპირველ ფუნქციას და პირიქით.
მაგალითად, მოდით F(x) იყოს f(x)=x ფუნქციის ინტეგრალი, შესაბამისად, F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, სადაც c არის თვითნებური მუდმივი. F(x) x-ის მიმართ დიფერენცირებისას ვიღებთ F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x, შესაბამისად, F(x)-ის წარმოებული უდრის f(-ს. x).
რეზიუმე
– დიფერენციაცია ითვლის მრუდის დახრილობას, ხოლო ინტეგრაცია ითვლის მრუდის ქვეშ არსებულ ფართობს.
– ინტეგრაცია არის დიფერენცირების საპირისპირო პროცესი და პირიქით.
