Power Series vs Taylor Series
მათემატიკაში რეალური მიმდევრობა არის რეალური რიცხვების მოწესრიგებული სია. ფორმალურად, ეს არის ფუნქცია ნატურალური რიცხვების სიმრავლიდან რეალური რიცხვების სიმრავლემდე. თუ an არის მიმდევრობის n-ე წევრი, ჩვენ აღვნიშნავთ თანმიმდევრობას 1-ით ან მნიშვნელობით., a 2, …, an, ….მაგალითად, განიხილეთ თანმიმდევრობა 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. ის შეიძლება აღინიშნოს როგორც {1/n}.
შესაძლებელია სერიების განსაზღვრა მიმდევრობების გამოყენებით. სერია არის მიმდევრობის ტერმინების ჯამი. ამიტომ, თითოეული თანმიმდევრობისთვის არის ასოცირებული თანმიმდევრობა და პირიქით.თუ {an} არის განხილული თანმიმდევრობა, მაშინ ამ თანმიმდევრობით ჩამოყალიბებული სერია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:
ამგვარად, ზემოთ მოცემულ მაგალითში, ასოცირებული სერია არის 1+1/2+1 /3+ … + 1/ n + ….
როგორც სახელები გვთავაზობს, სიმძლავრის სერია არის სპეციალური ტიპის სერიები და ის ფართოდ გამოიყენება რიცხვით ანალიზსა და მათემატიკურ მოდელირებაში. ტეილორის სერია არის სპეციალური სიმძლავრის სერია, რომელიც უზრუნველყოფს ცნობილი ფუნქციების წარმოდგენის ალტერნატიულ და ადვილად მანიპულირებულ გზას.
რა არის Power სერია?
ძალის სერია არისფორმის სერია
რომელიც კონვერგენტულია (შესაძლოა) გარკვეული ინტერვალისთვის, რომელიც ორიენტირებულია c. კოეფიციენტები anშეიძლება იყოს რეალური ან რთული რიცხვები და დამოუკიდებელია x-ისგან; ე.ი. მოჩვენებითი ცვლადი.
მაგალითად, დააყენეთ n=1 თითოეული n-ისთვის და c=0, სიმძლავრის სერია 1+x+x2 +…..+ x+… მიღებულია. ადვილი დასაკვირვებელია, რომ როდესაც x ε (-1, 1), ეს სიმძლავრეების სერია გადაიყრება 1/(1-x).
ძალების სერია იყრის თავს, როდესაც x=c. x-ის სხვა მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც სიმძლავრის სერიები იყრის თავს, ყოველთვის მიიღებს ღია ინტერვალის ფორმას, რომელიც ორიენტირებულია c-ზე. ანუ, იქნება მნიშვნელობა 0≤ R ≤ ∞ ისეთი, რომ თითოეული x დამაკმაყოფილებელი |x-c|≤ R, სიმძლავრის სერია კონვერგენტულია და თითოეული x დამაკმაყოფილებელი |x-c|> R, სიმძლავრის სერია განსხვავებულია. ამ მნიშვნელობას R ეწოდება სიმძლავრის სერიის კონვერგენციის რადიუსს (R შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობა ან დადებითი უსასრულობა).
ძალების სერიების დამატება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა შესაძლებელია შემდეგი წესების გამოყენებით. განვიხილოთ სიმძლავრის ორი სერია:
მერე,
ე.ი. მსგავსი ტერმინები ემატება ან აკლდება ერთად. ასევე, შესაძლებელია ორი სიმძლავრის სერიის გამრავლება და გაყოფა იდენტობის გამოყენებით,.
რა არის ტეილორის სერია?
ტეილორის სერია განისაზღვრება f (x) ფუნქციისთვის, რომელიც უსასრულოდ დიფერენცირებადია ინტერვალზე. დავუშვათ, f (x) დიფერენცირებადია c-ზე ორიენტირებულ ინტერვალზე. შემდეგ სიმძლავრის სერია, რომელიც მოცემულია -ით
ეწოდება f (x) ფუნქციის ტეილორის სერიის გაფართოებას დაახლოებით c. (აქ f(n) (c) აღნიშნეთ nწარმოებული x=c-ზე). რიცხვითი ანალიზში, ამ უსასრულო გაფართოების ტერმინების სასრული რაოდენობა გამოიყენება მნიშვნელობების გამოსათვლელად იმ წერტილებში, სადაც სერია კონვერგენტულია თავდაპირველ ფუნქციასთან.
A ფუნქცია f (x) ითვლება ანალიტიკურად (a, b) ინტერვალში, თუ ყოველ x ε (a, b) ტეილორის სერია f (x) თავსდება f ფუნქციასთან (x). მაგალითად, 1/(1-x) არის ანალიტიკური (-1, 1), რადგან მისი ტეილორის გაფართოება 1+x+x2+….+ x +… გადადის ამ ინტერვალზე ფუნქციასთან და ex ყველგან ანალიტიკურია, რადგან ტეილორის სერია ex იყრის e-ს x თითოეული რეალური რიცხვისთვის x.
რა განსხვავებაა Power სერიებსა და ტეილორის სერიებს შორის?
1. ტეილორის სერია არის სიმძლავრის სერიების სპეციალური კლასი, რომელიც განსაზღვრულია მხოლოდ ფუნქციებისთვის, რომლებიც უსასრულოდ დიფერენცირებადია ზოგიერთ ღია ინტერვალზე.
2. ტეილორის სერია იღებს სპეციალურ ფორმას
მიუხედავად იმისა, რომ სიმძლავრის სერია შეიძლება იყოსფორმის ნებისმიერი სერია
