განსაზღვრული vs განუსაზღვრელი ინტეგრალი
გაანგარიშება არის მათემატიკის მნიშვნელოვანი ფილიალი და დიფერენციაცია კრიტიკულ როლს თამაშობს გამოთვლებში. დიფერენციაციის ინვერსიული პროცესი ცნობილია როგორც ინტეგრაცია, ხოლო ინვერსიული ცნობილია როგორც ინტეგრალი, ან მარტივად რომ ვთქვათ, დიფერენციაციის ინვერსია იძლევა ინტეგრალს. მიღებული შედეგების მიხედვით ინტეგრალები იყოფა ორ კლასად; განსაზღვრული და განუსაზღვრელი ინტეგრალები.
მეტი განუსაზღვრელი ინტეგრალების შესახებ
განუსაზღვრელი ინტეგრალი უფრო ინტეგრაციის ზოგადი ფორმაა და ის შეიძლება განიმარტოს, როგორც განხილული ფუნქციის ანტი წარმოებული.დავუშვათ, F-ის დიფერენციაცია იძლევა f-ს, ხოლო f-ის ინტეგრაცია იძლევა ინტეგრალს. ის ხშირად იწერება როგორც F(x)=∫ƒ(x)dx ან F=∫ƒ dx სადაც F და ƒ არის x-ის ფუნქციები და F არის დიფერენცირებადი. ზემოაღნიშნული ფორმით მას რეიმანის ინტეგრალი ეწოდება და შედეგად მიღებული ფუნქცია თან ახლავს თვითნებურ მუდმივას. განუსაზღვრელი ინტეგრალი ხშირად აწარმოებს ფუნქციების ოჯახს; შესაბამისად, ინტეგრალი განუსაზღვრელია.
ინტეგრალები და ინტეგრაციის პროცესი არის დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის ბირთვი. თუმცა, დიფერენციაციისგან განსხვავებით, ინტეგრაცია ყოველთვის არ მიჰყვება მკაფიო და სტანდარტულ რუტინას; ზოგჯერ გამოსავალი არ შეიძლება გამოიხატოს ცალსახად ელემენტარული ფუნქციის თვალსაზრისით. ამ შემთხვევაში, ანალიტიკური ამოხსნა ხშირად მოცემულია განუსაზღვრელი ინტეგრალის სახით.
მეტი განსაზღვრული ინტეგრალების შესახებ
განსაზღვრული ინტეგრალები არის განუსაზღვრელი ინტეგრალების მეტად ღირებული ანალოგები, სადაც ინტეგრაციის პროცესი რეალურად წარმოქმნის სასრულ რიცხვს.ის შეიძლება გრაფიკულად განისაზღვროს, როგორც ფუნქციის მრუდით შემოსაზღვრული ფართობი მოცემულ ინტერვალში. როდესაც ინტეგრაცია ხორციელდება დამოუკიდებელი ცვლადის მოცემულ ინტერვალში, ინტეგრაცია წარმოქმნის განსაზღვრულ მნიშვნელობას, რომელიც ხშირად იწერება როგორც a∫bƒ(x) dx ან a∫b ƒdx.
განუსაზღვრელი ინტეგრალები და განსაზღვრული ინტეგრალები ურთიერთდაკავშირებულია კალკულუსის პირველი ფუნდამენტური თეორემის მეშვეობით და ეს საშუალებას აძლევს განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლას განუსაზღვრელი ინტეგრალის გამოყენებით. თეორემა აცხადებს a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a), სადაც F და ƒ არის x-ის ფუნქციები, და F დიფერენცირებადია (a, b) ინტერვალში. ინტერვალის გათვალისწინებით, a და b ცნობილია როგორც ქვედა ზღვარი და ზედა ზღვარი.
მხოლოდ რეალური ფუნქციებით შეჩერების ნაცვლად, ინტეგრაცია შეიძლება გაფართოვდეს რთულ ფუნქციებზე და ამ ინტეგრალებს ეწოდება კონტურული ინტეგრალები, სადაც ƒ არის რთული ცვლადის ფუნქცია.
რა განსხვავებაა განსაზღვრულ და განუსაზღვრელ ინტეგრალებს შორის?
განუსაზღვრელი ინტეგრალები წარმოადგენს ფუნქციის ანტი წარმოებულს და ხშირად, ფუნქციების ოჯახს და არა განსაზღვრულ ამონახსანს. განსაზღვრულ ინტეგრალებში ინტეგრაცია იძლევა სასრულ რიცხვს.
განუსაზღვრელი ინტეგრალები აკავშირებენ თვითნებურ ცვლადს (აქედან გამომდინარე, ფუნქციების ოჯახი) და განსაზღვრულ ინტეგრალებს აქვთ არა თვითნებური მუდმივი, არამედ ინტეგრაციის ზედა ზღვარი და ქვედა ზღვარი.
განუსაზღვრელი ინტეგრალი ჩვეულებრივ იძლევა დიფერენციალური განტოლების ზოგად ამოხსნას.
