დიფერენციაცია წარმოებულის წინააღმდეგ
დიფერენციალურ გამოთვლებში წარმოებული და დიფერენციაცია მჭიდრო კავშირშია, მაგრამ ძალიან განსხვავებული და გამოიყენება ფუნქციებთან დაკავშირებული ორი მნიშვნელოვანი მათემატიკური ცნების წარმოსაჩენად.
რა არის წარმოებული?
ფუნქციის წარმოებული ზომავს სიჩქარეს, რომლითაც იცვლება ფუნქციის მნიშვნელობა მისი შეყვანის ცვლილებისას. მრავალცვლადი ფუნქციებში ფუნქციის მნიშვნელობის ცვლილება დამოკიდებულია დამოუკიდებელი ცვლადების მნიშვნელობების ცვლილების მიმართულებაზე. ამიტომ ასეთ შემთხვევებში ირჩევა კონკრეტული მიმართულება და ფუნქციის დიფერენცირება ხდება ამ კონკრეტული მიმართულებით.ამ წარმოებულს ეწოდება მიმართულების წარმოებული. ნაწილობრივი წარმოებულები არის მიმართულების წარმოებულების განსაკუთრებული სახეობა.
ვექტორული მნიშვნელობის f ფუნქციის წარმოებული შეიძლება განისაზღვროს როგორც ლიმიტი [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h / to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] სადაც ის არის უსასრულოდ. როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ეს გვაძლევს f ფუნქციის გაზრდის სიჩქარეს ვექტორის u მიმართულებით. ერთმნიშვნელოვანი ფუნქციის შემთხვევაში, ეს მცირდება წარმოებულის ცნობილ განმარტებამდე, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\ 0}\\frac{f-მდე. (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
მაგალითად, [ლატექსი]f(x)=x^{3}+4x+5[/ლატექსი] ყველგან დიფერენცირებადია და წარმოებული ტოლია ლიმიტის, [ლატექსი]\\lim_{სთ. \\ 0}\\ frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], რაც არის უდრის [ლატექსი]3x^{2}+4[/ლატექსი]. ფუნქციების წარმოებულები, როგორიცაა [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] ყველგან არსებობს. ისინი შესაბამისად ტოლია ფუნქციების [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
ეს ცნობილია როგორც პირველი წარმოებული. როგორც წესი, f ფუნქციის პირველი წარმოებული აღინიშნება f (1) ახლა ამ აღნიშვნის გამოყენებით, შესაძლებელია უფრო მაღალი რიგის წარმოებულების განსაზღვრა. [ლატექსი]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] არის მეორე რიგის მიმართულების წარმოებული და აღნიშნავს n -ე წარმოებულს f (n)-ით თითოეული n-ისთვის, [ლატექსი]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], განსაზღვრავს n th წარმოებულს.
რა არის დიფერენციაცია?
დიფერენცირება არის დიფერენცირებადი ფუნქციის წარმოებულის პოვნის პროცესი. D-ოპერატორი, რომელიც აღინიშნება D-ით, წარმოადგენს დიფერენციაციას ზოგიერთ კონტექსტში. თუ x დამოუკიდებელი ცვლადია, მაშინ D ≡ d/dx. D-ოპერატორი არის წრფივი ოპერატორი, ანუ ნებისმიერი ორი დიფერენცირებადი ფუნქციისთვის f და g და მუდმივი c, შემდეგი თვისებები მოქმედებს.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
D-ოპერატორის გამოყენებით, დიფერენციაციასთან დაკავშირებული სხვა წესები შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (ვ) g – f D (g)]/ g 2 და D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
მაგალითად, როდესაც F(x)=x 2sin x დიფერენცირებულია x-თან მიმართებაში მოცემული წესების გამოყენებით, პასუხი იქნება 2 x sin x + x2cos x.
რა განსხვავებაა დიფერენციაციასა და წარმოებულს შორის?• წარმოებული აღნიშნავს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს • დიფერენციაცია არის ფუნქციის წარმოებულის პოვნის პროცესი. |
