ორთოგონალური vs ორთონორმა
მათემატიკაში, ორი სიტყვა ორთოგონალური და ორთონორმული ხშირად გამოიყენება ვექტორების სიმრავლესთან ერთად. აქ ტერმინი "ვექტორი" გამოიყენება იმ გაგებით, რომ ეს არის ვექტორული სივრცის ელემენტი - ალგებრული სტრუქტურა, რომელიც გამოიყენება ხაზოვან ალგებრაში. ჩვენი განხილვისთვის განვიხილავთ შიდა პროდუქტის სივრცეს - ვექტორულ სივრცეს V და შიდა ნამრავლთან , რომელიც განსაზღვრულია V-ზე.
მაგალითად, შიდა პროდუქტისთვის, სივრცე არის ყველა 3-განზომილებიანი პოზიციის ვექტორების სიმრავლე ჩვეულებრივ წერტილოვან ნამრავლთან ერთად.
რა არის ორთოგონალური?
შიდა პროდუქტიული სივრცის V-ის არა ცარიელი ქვესიმრავლე S არის ორთოგონალური, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თითოეული განსხვავებული u, v S-ში, [u, v]=0; ე.ი. u და v-ის შიდა ნამრავლი უდრის ნულოვანი სკალარს შიდა ნამრავლის სივრცეში.
მაგალითად, ყველა სამგანზომილებიანი პოზიციის ვექტორების სიმრავლეში, ეს უდრის იმის თქმას, რომ პოზიციის ვექტორების p და q თითოეული განსხვავებული წყვილისთვის S-ში, p და q ერთმანეთის პერპენდიკულარულია. (გახსოვდეთ, რომ ამ ვექტორულ სივრცეში შიდა ნამრავლი არის წერტილოვანი ნამრავლი. ასევე, ორი ვექტორის წერტილის ნამრავლი 0-ის ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორი ვექტორი ერთმანეთის პერპენდიკულარულია.)
გაითვალისწინეთ სიმრავლე S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, რომელიც არის 3-განზომილებიანი პოზიციის ვექტორების ქვესიმრავლე. დააკვირდით, რომ (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. აქედან გამომდინარე, სიმრავლე S არის ორთოგონალური. კერძოდ, ორ ვექტორზე ამბობენ, რომ ორთოგონალურია, თუ მათი შიდა ნამრავლი არის 0. მაშასადამე, ვექტორების თითოეული წყვილი Sis ორთოგონალურში.
რა არის ორთონორმალური?
V შიდა ნაწარმოების სივრცის არა ცარიელი S ქვესიმრავლე ორთონორმალურია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ S არის ორთოგონალური და თითოეული ვექტორისთვის u S-ში, [u, u]=1. აქედან გამომდინარე, ჩანს, რომ ყველა ორთონორმალური ნაკრები ორთოგონალურია, მაგრამ არა პირიქით.
მაგალითად, ყველა 3-განზომილებიანი პოზიციის ვექტორების სიმრავლეში, ეს უდრის იმის თქმას, რომ პოზიციის ვექტორების p და q ცალკეული წყვილისთვის S-ში, p და q ერთმანეთის პერპენდიკულარულია, და თითოეული p S-ში, |p|=1. ეს იმიტომ ხდება, რომ პირობა [p, p]=1 მცირდება p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, რაც უდრის |p-ს |=1. მაშასადამე, ორთოგონალური სიმრავლის გათვალისწინებით, ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია შევქმნათ შესაბამისი ორთონორმული სიმრავლე თითოეული ვექტორის სიდიდეზე გაყოფით.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} არის ყველა სამგანზომილებიანი პოზიციის ვექტორების სიმრავლის ორთონორმული ქვესიმრავლე. ადვილი მისახვედრია, რომ იგი მიიღეს S სიმრავლის თითოეული ვექტორის გაყოფით მათ სიდიდეებზე.
რა განსხვავებაა ორთოგონალურსა და ორთონორმალურს შორის?
- შიდა პროდუქტიული სივრცის V-ის არა ცარიელი ქვესიმრავლე S არის ორთოგონალური, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თითოეული განსხვავებული u, v S-ში, [u, v]=0. თუმცა, ის ორთონორმულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დამატებითი პირობა – თითოეული ვექტორისთვის u-ში S-ში, [u, u]=1 დაკმაყოფილებულია.
- ნებისმიერი ორთონორმალური ნაკრები არის ორთოგონალური, მაგრამ არა პირიქით.
- ნებისმიერი ორთოგონალური სიმრავლე შეესაბამება უნიკალურ ორთონორმალურ სიმრავლეს, მაგრამ ორთონორმალური ნაკრები შეიძლება შეესაბამებოდეს ბევრ ორთოგონალურ სიმრავლეს.
