ასოციაციური vs კომუტატიური
ჩვენს ყოველდღიურ ცხოვრებაში, ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ რიცხვები, როდესაც რაღაცის გაზომვა გვჭირდება. სასურსათო მაღაზიაში, ბენზინგასამართ სადგურზე და თუნდაც სამზარეულოში უნდა დავამატოთ, გამოვაკლოთ და გავამრავლოთ ორი ან მეტი რაოდენობა. ჩვენი პრაქტიკიდან გამომდინარე, ჩვენ ამ გამოთვლებს საკმაოდ მარტივად ვასრულებთ. ჩვენ არასდროს ვამჩნევთ და არ ვსვამთ კითხვას, თუ რატომ ვაკეთებთ ამ ოპერაციებს ამ კონკრეტული გზით. ან რატომ არ შეიძლება ამ გამოთვლების გაკეთება სხვაგვარად. პასუხი იმალება იმაში, თუ როგორ არის განსაზღვრული ეს მოქმედებები ალგებრის მათემატიკური ველში.
ალგებრაში ოპერაცია, რომელიც მოიცავს ორ რაოდენობას (როგორიცაა დამატება) განისაზღვრება, როგორც ორობითი ოპერაცია.უფრო ზუსტად ეს არის ოპერაცია ორ ელემენტს შორის კომპლექტიდან და ამ ელემენტებს ეწოდება "ოპერანდი". ბევრი ოპერაცია მათემატიკაში, მათ შორის ადრე ნახსენები არითმეტიკული ოპერაციები და სიმრავლეების თეორიაში, წრფივი ალგებრა და მათემატიკური ლოგიკა შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ორობითი ოპერაციები.
არსებობს მმართველი წესების ნაკრები, რომელიც ეხება კონკრეტულ ორობით ოპერაციას. ასოციაციური და კომუტაციური თვისებები ორობითი ოპერაციების ორი ფუნდამენტური თვისებაა.
მეტი Commutative Property
ვთქვათ, ზოგიერთი ორობითი ოპერაცია, რომელიც აღინიშნება სიმბოლოთი ⊗, შესრულებულია A და B ელემენტებზე. თუ ოპერანდების თანმიმდევრობა გავლენას არ ახდენს ოპერაციის შედეგზე, მაშინ ამბობენ, რომ ოპერაცია არის კომუტაციური. ანუ თუ A ⊗ B=B ⊗ A მაშინ ოპერაცია არის კომუტაციური.
არითმეტიკული მოქმედებები შეკრება და გამრავლება კომუტაციურია. შეკრებილი ან გამრავლებული რიცხვების თანმიმდევრობა არ მოქმედებს საბოლოო პასუხზე:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
მაგრამ გაყოფის შემთხვევაში, რიგის ცვლილება იძლევა მეორის საპასუხო ნაწილს, ხოლო გამოკლებისას ცვლილება იძლევა მეორის უარყოფითს. ამიტომ, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 და 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0.8 და 5 ÷ 4=1.25 [ამ შემთხვევაში A, B ≠ 1 და 0]
სინამდვილეში ნათქვამია, რომ გამოკლება არის ანტიკომუტაციური; სადაც A – B=– (B – A).
ასევე, ლოგიკური კავშირები, კავშირი, დისიუნქცია, იმპლიკამენტი და ეკვივალენტობა, ასევე კომუტაციურია. ჭეშმარიტების ფუნქციები ასევე კომუტაციურია. კომპლექტი ოპერაციების კავშირი და კვეთა არის კომუტაციური. შეკრება და ვექტორების სკალარული ნამრავლი ასევე კომუტაციურია.
მაგრამ ვექტორული გამოკლება და ვექტორული ნამრავლი არ არის კომუტაციური (ორი ვექტორის ნამრავლი არის ანტიკომუტაციური). მატრიცის შეკრება კომუტაციურია, მაგრამ გამრავლება და გამოკლება არ არის კომუტაციური.(ორი მატრიცის გამრავლება შეიძლება იყოს კომუტაციური სპეციალურ შემთხვევებში, როგორიცაა მატრიცის გამრავლება მის ინვერსიით ან იდენტურობის მატრიცით; მაგრამ ნამდვილად მატრიცები არ არის კომუტაციური, თუ მატრიცები არ არის იგივე ზომის)
მეტი ასოციაციური საკუთრების შესახებ
ორობითი ოპერაცია ითვლება ასოციაციურად, თუ შესრულების თანმიმდევრობა გავლენას არ ახდენს შედეგზე, როდესაც არსებობს ოპერატორის ორი ან მეტი შემთხვევა. განვიხილოთ ელემენტები A, B და C და ორობითი ოპერაცია ⊗. ოპერაცია ⊗ არის ასოციაციური, თუ
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
ძირითადი არითმეტიკული ფუნქციებიდან მხოლოდ შეკრება და გამრავლება ასოციაციურია.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
გამოკლება და გაყოფა არ არის ასოციაციური;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 და (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2.4 და (5 ÷ 4) ÷ 3=0.2666
ლოგიკური კავშირების დისიუნქცია, შეერთება და ეკვივალენტობა ასოციაციურია, ისევე როგორც სიმრავლის მოქმედებების გაერთიანება და კვეთა. მატრიცა და ვექტორის დამატება ასოციაციურია. ვექტორების სკალარული ნამრავლი ასოციაციურია, ვექტორული ნამრავლი კი არა. მატრიცის გამრავლება ასოციაციურია მხოლოდ განსაკუთრებულ პირობებში.
რა განსხვავებაა კომუტატიურ და ასოციაციურ თვისებებს შორის?
• ასოციაციური თვისებაც და კომუტაციური თვისებაც არის ორობითი ოპერაციების განსაკუთრებული თვისებები და ზოგი აკმაყოფილებს მათ და ზოგი არა.
• ეს თვისებები შეიძლება ნახოთ ალგებრული ოპერაციების მრავალ ფორმაში და მათემატიკაში სხვა ბინარულ ოპერაციებში, როგორიცაა კვეთა და კავშირი სიმრავლეების თეორიაში ან ლოგიკური კავშირები.
• განსხვავება კომუტატიურსა და ასოციაციურს შორის არის ის, რომ კომუტაციური თვისება აღნიშნავს, რომ ელემენტების თანმიმდევრობა არ ცვლის საბოლოო შედეგს, ხოლო ასოციაციური თვისება აცხადებს, რომ ოპერაციის შესრულების თანმიმდევრობა არ ახდენს გავლენას საბოლოო პასუხზე..
